На виражах числовой прямой

Ответочка от Зенона

Закончив предыдущее эссе, я думал, что уж теперь-то окончательно избавился от Зенона и его вечно соревнующейся в беге свиты. Однако не прошло и пары дней, как он бесцеремонно явился в мой сон на колеснице, в которую была запряжена крупная галапагосская черепаха. Возницей в повозке был Ахиллес. По-видимому, это устройство было какой-то античной разновидностью машины времени. Потрясая распечатанной страницей из моего персонального блога, Зенон гневно кричал:

— Вот вы где, негодник! Если бы вы не интересовались математикой, я не стал бы с вами и церемониться, а просто приказал бы своему телохранителю переломать вам рёбра… — на этих словах Ахиллес смачно хрустнул кулаками, а черепаха вроде как хихикнула. — …и уж тем более не стал бы обращаться на вы. Но я расправлюсь с вами по-своему, по-философски.

— Да в чём же дело? — делано изумился я, при этом довольно отчётливо догадываясь, зачем он приехал.

— Вы тут напраслину изволили написать про нашу корпорацию. Зенон, мол, мошенник, под видом философии подсовывает читателям психологические выкрутасы. Употреблено даже такое нелитературное выражение, как «пудрит мозги»! Впрочем, — более миролюбиво продолжил элеец, вспомнив, видимо, что он философ, а не рэкетир — я сниму свои претензии, если вы опровергнете мои контраргументы, а именно: упрекая меня в злоупотреблениях бесконечностью, вы используете число 1111,1(1) (тысяча сто одиннадцать, одна десятая и один в периоде). Но я-то своим парадоксом, по крайней мере, позабавил читателя, а вот кто сжульничал, так это как раз вы с вашим обожаемым Вейерштрассом, перепрятавшим бесконечность из левой части уравнения в правую. Потрудитесь доказать, что это не так, иначе подам на вас в суд ещё и за жестокое обращение с животными. Аврора (так, оказывается, звали черепаху) очень расстроилась, когда узнала, что Ахиллес может её обогнать. На этих словах на лице героя Троянской войны промелькнуло что-то вроде самодовольной ухмылки, а у черепахи нервно дёрнулся глаз.

Банда растворилась в сонном мороке, а я вместо того, чтобы испугаться, задумался: а ведь претензия небезосновательна. Действительно, число 1111,1(1) в парадоксе Зенона не фигурирует. Его предлагает нам теория пределов, разработанная Карлом Вейерштрассом. Элеец же вправе заявить, что да, в его апории можно найти числа 1111,1, 1111,11, 1111,111…, но никаких «новомодных фокусов» с единицей в периоде он не признаёт. Это действительно выглядит для него как та же бесконечность, только вывернутая наизнанку.

Я не стал торопиться с ответом ночному гостю, ведь самые эффективные мысли - медленные. Они, как нейтроны в атомном реакторе, в отличие от скоропалительных делают свою работу неторопливо, но надёжно. Поэтому силы ответить на наезд разбушевавшегося античного философа я почувствовал только после того, как съездил на дачу, где скосил сотки три газона (там «бандиты» похлеще зеноновских - одуванчики, вот кому нужно давать незамедлительный отпор!), хорошенько выспался и выкушал изрядную тарелку приготовленной впервые в этом году по случаю наступившей жары окрошки. 

«Зенон-то, бедолага, не знает, - подумалось мне, - что представления человечества о числах за 2500 лет шагнули далеко вперёд. Да и сам я, признаться, уже подзабыл, какие числа называются натуральными, действительными, рациональными, вещественными… А ведь окончательная разгадка кроется именно в этой классификации». Я решил не упускать прилив мыслительных способностей и освежил свои математические знания, позвав на подмогу, как всегда, ИИ из семейства Gemini.

Старина Леонтий

На самом деле я мог и сразу ответить на обвинение в упрятывании бесконечности в число 1111,1(1). Можно было бы сказать так:

— Достопочтенный Зенон, количество применённых в вашем парадоксе психологических мошенничеств воистину неисчислимо. Мало того, что вы подмешали время к пространству и заставили читателя ползать по следам черепахи со штангенциркулем, вместо того, чтобы отвечать на вопрос догонит ли её Ахиллес. Вы ещё и злоупотребили десятичной системой счисления. Ваш парадокс сам становится насквозь пропитанным бесконечными периодическими дробями, если принять разницу в скоростях, например, трёхкратной, а не десятикратной. Ведь на первом же шаге появляется столь нелюбимое вами число с бесконечным количеством цифр в периоде: пока Ахиллес бежит 1000 шагов форы, черепаха уползет на… 333,3(3) шага!

Однако я, как не обладающий никаким авторитетом в математике, во время первого «наезда» предпочёл промолчать. Лучше привлечь к спору авторов более заслуженных, желательно в хронологическом порядке, чтобы было видно, как развивались представления человечества о числах.

Первым мне вспомнился не какой-нибудь древнегреческий или средневековый мудрец, а русский математик Леонтий Филиппович Магницкий, современник Петра Великого. Его «Арифметика» несколько раз переиздавалась в СССР в конце 1980-х и легко нашлась на моих книжных полках. Там есть даже задача в зеноновском стиле, про состязающихся в беге:

На охоте

Пошел охотник на охоту с собакой. Идут они лесом, и вдруг собака увидала зайца. За сколько скачков собака догонит зайца, если расстояние от собаки до зайца равно 40 скачкам собаки и расстояние, которое пробегает собака за 5 скачков, заяц пробегает за 6 скачков? (В задаче подразумевается, что скачки делаются одновременно и зайцем, и собакой).

Выплыло из глубин подсознания и такое: «Дворовая девка Маланья потеряла невинность в 42 года. А холоп Тимошка — в 14. Сколько лет каторги получил бы Тимошка, ежели бы им было наоборот?» К счастью, я сразу вспомнил, что это не из «Арифметики» Магницкого, а из выступления команды КВН «Мегаполис», но раз уж пришло на ум — оставлю здесь на случай, если кто-то из читателей уже успел заскучать.

Шутки шутками, но мысль о том, что задачник времен Петра I может быть полезен в споре с Зеноном, не шла из головы. Элеец же не замедлил явиться во сне в ближайшую ночь всё на той же «машине времени», в обычном сопровождении. Он с ходу закричал:

— Подготовили контраргументы? Взбирайтесь на колесницу, поедем выяснять отношения.

— Куда путь держим? — скупо обронил возница-Ахиллес, повадками напоминавший таксистов всех времён и народов.

— Москва, Сухаревская площадь, 1702 год, — отчеканил я адрес, на ходу запрыгивая в повозку.

Старина Леонтий действительно поджидал нас на крылечке у Сухаревой башни, попивая квасок и составляя на свежем воздухе свой задачник. Он бормотал:

— Задача № 1. Один человек выпивает бочонок кваса за 14 дней, а вместе с женой выпивает такой же бочонок кваса за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпивает такой же бочонок кваса.

Задача № 2. В жаркий день 6 косцов выпили бочонок кваса за 8 часов. Нужно узнать, сколько косцов за 3 часа выпьют такой же бочонок кваса.

Увидев наш экипаж, он не слишком испугался, ведь «крышей» у него был сам царь. Узнав же, в чём дело, Магницкий заметил Зенону:

— Ваше греческое благородие, число 1111,1(1) никакое не «волшебное». Это самая обыкновенная дробь $10000/9$. Вы же, когда делите яблоко поровну на троих, не возмущаетесь тем, что каждому досталось по 0,3(3)? Если вас это всё-таки беспокоит, то назовите это одна треть, и дело с концом. Вот и с числом десять тысяч девятых всё точно так же.

Зенон было запротестовал, заявив, что неточность всё равно остаётся, что он продолжает видеть в $1/3$ $0,3(3)$, но Леонтий лишь пожал плечами:

— Для нас, людей торговых, на десятичной системе свет клином не сошёлся, обходимся и простыми дробями, если они нам кажутся более удобными, а главное - справедливыми. Вот, например, как решается задача про бочонок кваса: «За 140 дней супруги выпьют 14 бочонков кваса, 10 муж и 4 жена. Значит один бочонок она выпьет за $140 / 4 = 35$ дней». Обыкновенная дробь-с.

— Да какая же это дробь? — возмутился Зенон. — Это же просто операция деления!

— Вот, значит, вы как,.. — хмыкнул Леонтий. — Тогда следующая задача: «Лошадь съедает воз сена за месяц, коза — за два месяца, овца — за три месяца. За какое время лошадь, коза и овца вместе съедят такой же воз сена?» Решение: «Поскольку лошадь съедает воз сена за месяц, то за год (12 месяцев) она съест 12 возов сена. Так как коза съедает воз сена за 2 месяца, то за год она съест 6 возов сена. И, наконец, поскольку овца съедает воз сена за 3 месяца, то за год она съест 4 воза сена. Вместе же они за год съедят $12 + 6 + 4 = 22$ воза сена. Тогда один воз сена они все вместе съедят за $12/22 = 6/11$ месяца».

Шесть одиннадцатых! Как вам такое? И ведь ничего страшного не произошло, верно? Лошадь, коза и овца не потеряли аппетит от того, что им скормили такое «некрасивое» количество сена. Вот и нам с вами бояться «магических чисел» не надо. У Бога все числа хорошие, даже такие «страшные», как 13. Кстати, двенадцатеричная система куда удобнее десятичной. Её ещё во времена праотца нашего Авраама в древнем Вавилоне использовали. Да и не о ней одной речь. Например, меха пушного зверя у нас упаковывают в связки по 40 штук, так проще перевозить, да и считать. Тюк хлопка не потому именно такого размера, что весит 500 фунтов, а потому, что именно столько может поднять и перенести один раб. Длину мы считаем в футах, потому что это длина ступни взрослого человека, и она у всех примерно одинаковая. Погрешность процентов в 5-10 — не беда, лишь бы не в два раза.

На этих словах Зенон как-то поскучнел, и мы, для приличия ещё попив с Леонтием кваску и напоив черепаху из Неглинной, тронулись в обратный путь.

— Мужлан ваш Леонтий, — бубнил Зенон. Бога зачем-то приплёл, Авраама какого-то. Математически он мне так ничего и не доказал, мало ли что там купцы напридумывали, но с дробями хорошо выкрутился. Только вот бывают такие числа, что никакая дробь их не берёт.

Тут он начал припоминать случаи из собственной практики:

— Один мой сосед в Элее зарабатывал на жизнь изготовлением тележных колёс, набивая по ободу каждого своего изделия железную полосу — шину, чтобы дольше служило. Однажды я спросил его, сколько железа затрачивается в расчёте на одно колесо. Он начал жаловаться, что точно никак не удаётся посчитать. Мол, нужно умножить диаметр колеса на три и прибавить ещё немного, но сколько именно — выяснить удаётся только опытным путём. Кузнец, которому колесник заказывает шину, сердится из-за такой невнятности. Недоумевает и купец, поставляющий железо в наш городок, потому что ему каждый раз заказывают какое-то странное, не кратное обычным единицам измерения количество железа. У колесника, правда, есть какая-то палочка, которой он отмеряет длину железной полосы, но она постоянно куда-то пропадает: то жена перепутает с дровами и в печке сожжет, то дети затеют между собой «войнушку» и утащат в качестве игрушечного копья, так что частенько приходится подбирать длину заново, опытным путём.

Другой сосед делает табуретки с квадратными сиденьями. Как-то раз он затеял рационализацию: чтобы узнать, соответствует ли заготовка общепринятым размерам, можно мерить не длину и ширину, а диагональ, то есть сократить количество измерений с двух до одного. Сказано — сделано, но рационализация сразу обернулась иррационализацией: длина диагонали представляет собой такое неудобное и ни с чем не сопоставимое число, что, как говорится, ни два ни полтора, так что лучше уж мерить по старинке.

В общем, даже мы, древние греки, знали, что бывают числа, не сводимые ни к каким дробям с целыми числителями и знаменателями. Это и число $\pi$, и $\sqrt{2}$, и ещё много какие. Если я в своём парадоксе заставлю Ахиллеса бежать в $\pi$ раз быстрее черепахи (или просто кругами), никакими преобразованиями в обыкновенные дроби вы от нарастающих бесконечностей уже не избавитесь!

— Да разве дело в «бесконечных числах»? — досадовал я на упрямство Зенона. Можно подумать, что вы не в Древней Греции родились, а в революционной Франции, где в 1795 году тоже озаботились упорядочиванием, как бы всё сделать покруглее да постандартнее. И ведь получилось у них! За последние пару столетий люди так привыкли к десятичной системе, жёстко навязанной другим странам во времена Наполеоновских войн, что обычные дроби уж и за числа не признаются. Вы, Зенон, я вижу, просто спорите ради самого спора, что и понятно: ученик диалектика Парменида. Ну, да ладно, заглянем в XVIII век, к Ньютону и Лейбницу. Они там исчисление бесконечно малых изобрели, посмотрим, что вы на это скажете.

Беркли против флюксий

Когда наша компания прибыла в Лондон, оказалось, что никто не представляет как найти здесь сэра Исаака Ньютона. По Википедии, с которой я время от времени сверялся в дороге, поскольку прихватил с собой смартфон, выходило, что великий физик и математик в зрелые годы занимал важные государственные должности. Мы засомневались, пустят ли нас в столь солидное учреждение, как Королевский монетный двор с гигантской черепахой. Ахиллес заявил было, что его удостоверение участника Троянской войны открывает любые двери, но большинством голосов это решение отклонили. Прохожие и так уже косо поглядывали на нашу компанию, принимая, видимо, за обитателей Бедлама или бродячую театральную труппу: гигантская черепаха, два древних грека, один в тунике, второй в полном боевом вооружении и джентльмен в футболке и штанах, сшитых не из добротного английского сукна, а из «убогого» синего генуэзского брезента.

Вдруг Зенон, рассмотрев кого-то в толпе, обрадовался:

— Сейчас всё решим, я вижу хорошего знакомого.

— Откуда бы у вас, обитателя Элеи, жившего в V веке до новой эры, знакомые в Лондоне XVIII века? — спросил я.

— Видите ли, в загробном мире есть что-то вроде академии, куда после смерти зачисляют прославленных философов. — Мистер Беркли! — крикнул он в толпу и замахал рукой, привлекая внимание прохожего в священническом одеянии.

— А, мистер Зенон, — приветливо отозвался Беркли. — Какими судьбами в наших краях?

Он подошел к нашей колеснице и, после дежурного обмена любезностями, порекомендовал переместиться в менее людное место, потому что количество недружелюбных взглядов, направленных в нашу сторону, приближалось к критической отметке. Раскачивающиеся на мосту через Темзу тела повешенных тоже намекали, что шутить с нелегалами здесь не любят.

Мгновенно преодолев на волшебной колеснице несколько миль пространственно-временного континуума, мы оказались в пригородной таверне, порекомендованной мистером Беркли. Правда, сначала нас отказывались пускать внутрь всё из-за той же Авроры, так что пришлось придумывать версию о том, что мы действительно бродячий цирк, а черепаха — это лишь костюм, внутри которого скрывается обыкновенный ослик. Не без раздумий приняв такое объяснение, хозяин всё-таки пригласил нас в обеденный зал, потребовав, правда, чтобы рептилия была отправлена в хлев. Та, хоть и сделав обиженную физиономию, согласилась в очередной раз пострадать ради науки.

Расположившись в безлюдном уголке заведения, мы решили по совету мистера Беркли заказать местного пива. Зенон категорически отказался, пробурчав что-то про «питьё варваров и рабов»; Ахиллес хмыкнул, но сказал, что, так и быть, во время Троянской осады ему и не такое приходилось пить. Я же откровенно обрадовался: принесли что-то вроде Гиннесса, который в стране, где я живу, исчез из свободной продажи лет 15 назад.

— Итак, джентльмены, чем могу служить? — спросил наконец мистер Беркли.

— У нас спор, ­— ответил Зенон. — Вы же помните мою апорию о состязании в беге Ахиллеса и черепахи? — На этих словах Ахиллес нервно заёрзал на табуретке. — Так вот, этот… дилетант, извините мне мою латынь, из XXI века утверждает, что справился с моим парадоксом.

— Я, может, и дилетант, только с этим вашим ахиллесово-черепаховым мозгокрутством ещё в XIX веке разделался немецкий математик Карл Вейерштрасс! А вы, Зенон, просто не хотите признавать поражение и, как утопающий хватается за соломинку, вцепились в число 1111,1(1), которое, видите ли, показалось вам «некрасивым» и «бесконечным»! — закипятился я.

— А в Лондон-то какими судьбами? — спросил Беркли.

— Да тут у вас, говорят, живёт какой-то Исаак Ньютон, который, якобы, навёл порядок в мире чисел. Хотим с ним проконсультироваться, что там за бесконечно малые он изобрёл. Да вот ещё и Лейбниц… — начал объяснять Зенон, но мистер Беркли перебил его, утратив на этих словах английскую вежливость. По мере произнесения имён Ньютона и Лейбница выражение его лица менялось с доброжелательного на саркастическое.

— Вы приехали в такую даль, чтобы посоветоваться с Ньютоном?! — изумлялся он. — С этим путаником? Да он сам не верит в то, что написал. В своем трактате «Аналитик» я камня на камне не оставляю от его теории «бесконечно малых». «Флюксии» он, видите ли, выдумал! Эти господа за вновь изобретёнными словечками хотят стыдливо скрыть научную проблему, которую в своём бессилии не могут решить строго математическими методами! — бушевал Беркли, видимо, уже затронутый парами выпитого пива.

Уловив знакомые нотки в его тирадах, я робко спросил:

— Скажите, пожалуйста, мистер Беркли, а в той вашей загробной философской академии не встречался вам человек по фамилии Ленин? Он в своём трактате «Материализм и эмпириокритицизм» примерно такими же словами кроет вас и других уважаемых философов, «погрязших в фантазиях»…

— Нет, не встречался… — буркнул Беркли, явно демонстрируя досаду на то, что его перебивают. — А впрочем… Да, припоминаю! Приходил какой-то хулиган в кепке. Буянил, требовал принять его в академию, утверждал, что вступительный экзамен по философии может сдать экстерном за 15 минут, грозился всё вокруг взорвать, если ему откажут. С ним и ещё какие-то бандиты были…

— И я помню этот случай, — усмехнулся Зенон. — Только у нас там всё покрепче устроено, чем в революционном Петрограде.

— И что с ними стало? — сердобольно поинтересовался я участью соотечественников.

— Да в ад их отправили. Ленина назначили старшим по котлу, только он не справился, филонил много, так что пришлось перевести в простые кочегары. Так до сих пор там и вкалывают: половина в котле варится, вторая половина дровишек подкидывает, потом меняются… Не отвлекайтесь, коллега, — обратился он к Беркли. — У нас же ещё Лейбниц в запасе.

— А что Лейбниц? И Лейбниц такой же путаник, — продолжал горячиться Беркли. — Они с Ньютоном — два сапога пара. И наврут одинаково, и выкручиваются одинаково бестолково. Один «флюксии» придумал, у другого его хвалёные бесконечно малые то равны нулю, то не равны. Как привидения какие-то…

— …или крокодилы из моего любимого анекдота про прапорщика. Они там, вообще-то, не летают, но если летают, то «тихэнько-тихэнько, низэнько-низэнько».

Тут мне, по требованию присутствующих, пришлось пересказать бородатый советский анекдот. Зенон и Беркли покатывались со смеху, Ахиллес насупился в обиде за коллегу-военного.

Насладившись старинным пивом и беседой, мы с Зеноном, однако, решили, что в Англии XVIII века нам больше делать нечего. Желание лично побеседовать с Ньютоном и Лейбницем сошло на нет. Стало понятно, что если парадокс Зенона и решён математиками, то не в это время, а где-то позднее. К тому же надо было позаботиться об Авроре, которой роль ослика в хлеву могла выйти боком. Мы извлекли её оттуда, матерящуюся на чём свет стоит, выкупали в Темзе на манер автомобиля и стали запрягать в колесницу времени.

— Ты представляешь, Аврорушка, — умильно обняв черепаху за морщинистую шею причитал Зенон, назюзюкавшийся, всё-таки, местным «гиннессом», который распробовал к концу импровизированного симпозиума. — Этот британский варвар, Ньютонишка этот решил сварить себе «питательный супчик» из моего любимого парадокса! А на деле он просто стёр мою бесконечность тряпкой с доски и сделал вид, что так и было! И они ещё борются за почётное звание острова высокой культуры быта!

В этот момент элеец представлял собой странную смесь извозчика их чеховского рассказа «Тоска», гайдаевского Антона Семёновича Шпака и персонажа кинокомедии «Афоня».

— Куда теперь? — отрезвил нас непробиваемый такими пустяками, как пиво Ахиллес. Зенон подтвердил вопрос насмешливо-хмельным взглядом в мою сторону.

— Сейчас, сейчас… — бормотал я, вдумчиво листая Википедию. — Вот, нашёл. Тут написано, что лет через сто отсюда живёт Огюстен Луи Коши, который, вроде бы, довёл до ума учение Ньютона и Лейбница о бесконечно малых. Это примерно 1821-й год, только по другую сторону Ла Манша. Кто-нибудь знает французский?

— Разберёмся, чай не сложнее латыни, — надменно буркнул всё ещё не окончательно протрезвевший Зенон. Он более чем когда-либо был уверен, что его парадокс никто не сможет опровергнуть. По крайней мере, Ньютон и Лейбниц, судя по оценке Беркли, не справились. Но смотреть на бесплодные потуги, лишь подчёркивавшие славу древнегреческой мысли, ему явно нравилось.

В кабинете надменного барона

— Как же мне надоели пакости этих санкюлотов! — гремел в приёмной месье Коши, куда мы вскоре переместились, его голос, доносившийся из кабинета. — Они уже отняли у нас, благородных, почёт, доходы, собственность, а теперь принялись воровать наше время! В святая святых науки — Политехническую школу — приходят какие-то (тут он произнёс слово, которое даже мой смартфон не смог перевести) и требуют чего же? Консультации по теории бесконечно малых величин, вместо того чтобы заняться чисткой сараев, прямым своим делом!

«Где-то я это уже слышал», — мелькнула мысль в моей голове, а Ахиллес, хрустнув кулаками, бесхитростно поинтересовался:

— Это он уж не о нас ли?

— Успокойся, мой друг, — попытался смягчить ситуацию Зенон. — Просто здесь времена сейчас неспокойные, вот и нервничает человек.

Однако его самого так просто было не провести.

— Скажите, уважаемый, — обратился он ко мне шёпотом, чтобы не услышал Ахиллес. — Что это за санкюлоты такие? Я, видимо, переоценил свои способности быстро освоить французский язык, но из контекста понимаю, что Ахиллес правильно почувствовал: недоволен этот господин именно нашим визитом.

— Санкюлоты-то? — наивно откликнулся я. — Это те, кто ходит без штанов.

— То есть благородные люди? — с надеждой в голосе уточнил Зенон. — Ведь только варвары носят штаны… Тут он осёкся, поняв, что я перехватил его взгляд на мои джинсы.

— Да что вы, — успокоил я. — В моё время степень благородства слабо зависит от привязанности к штанам. А вот во времена Коши всё было в точности наоборот по сравнению с вашей эпохой: знать носила короткие панталончики особого покроя, а бедноту, которая не могла себе такую одежду позволить, как раз и называли санкюлотами, то есть «бесштанниками», или, если угодно, голодранцами.

Я не рассчитал громкость и мои последние слова услышал Ахиллес.

— Так это он всё-таки нас голодранцами обозвал?! — угрюмо проскрипел он, и тут же заорал в сторону кабинета со знакомой интонацией питерского гопника: — Э, фиу, кореш…

Предугадав дальнейший текст, я убедительным шёпотом попытался его унять:

— Во-первых, не кореш, а месье Коши, а во-вторых, вы сейчас всё испортите, дорогой наш милитарист. Предоставьте дальнейшие разборки Зенону, он из нас самый… авторитетный.

Но слишком много увещеваний и не понадобилось, потому что в кабинете вдруг воцарилась тишина, а затем прозвучал чей-то встревоженный шёпот: «Ладно, пусть войдут, а то опять устроят какую-нибудь революцию, камня на камне от Политехнической школы не останется». Через мгновение на пороге появился секретарь и попросил проследовать в кабинет месье Коши.

— Здравствуйте… господа, — с плохо скрываемой брезгливостью поприветствовал нас хозяин кабинета. А мы, надо сказать, действительно поистрепались в дороге и вид имели самый пролетарский, особенно всклокоченный Зенон, напоминавший питерского же бомжа. — Чем могу быть полезен?

— Здравствуй и ты, о, учёнейший из галлов, — начал было Зенон в патетическом духе, но быстро перешёл на более демократичный тон, усвоенный во время наших странствий на колеснице времени. — Я — древнегреческий философ Зенон, это мой слуга и телохранитель Ахиллес, а это мой оппонент… Эйкостос Протос. (Этот псевдоним для меня он придумал только что, и неспроста: Зенон наотрез отказался запоминать моё настоящее имя, уверяя, что я специально придумал такое заковыристое слово — Михаил — чтобы лишний раз ему досадить).

— Почему Двадцать Первый? — поинтересовался Коши, который, в отличие от меня, прекрасно понимал древнегреческий.

— Потому что он из XXI века, — дружелюбно пояснил Зенон. — Видите ли, с нами ещё учёная черепаха, умеющая перемещаться во времени…

В этот момент я заметил, что Коши как бы между прочим пишет записку и, почуяв неладное, навёл на неё камеру смартфона, сделал максимальный зум и запустил распознавание рукописного ввода. Там значилось: «Франсуа, зайдите ко мне со всей наличествующей в данный момент в Политехнической школе охраной. Этих троих нужно срочно доставить в ближайший дом для умалишённых». Он дописал и потянулся за колокольчиком, чтобы вызвать секретаря. Я похолодел, судорожно соображая, как выкрутиться, но в это время Зенон невозмутимым тоном продолжал вещать:

— …и вы не представляете, любезнейший господин Коши, насколько этот Ньютон оказался не только глупым, но и наглым. Он решил, как говорится, объехать меня на кривой козе: подменил в моём парадоксе об Ахиллесе и черепахе божественную бесконечность какими-то «флюксиями». А по-моему, так лучше бы назвать эти его «флюксии» фикциями…

Коши на несколько мгновений замер, что-то соображая.

— Любезнейший Зенон! — как бы очнувшись, воодушевился он. — Простите меня великодушно, что принял вас и ваших спутников за нечестивцев, которых так много развелось во Франции в последние годы! — Он отставил в сторону колокольчик и как можно более незаметно измельчил записку, выбросив обрывки в мусорную корзину. — Вы произнесли несколько слов, которые служат как бы паролем для своих в научном мире, и теперь мне проще поверить, что вы действительно античный Зенон, приехавший сюда на машине времени, чем предположить, что какая-то каналья выучила несколько научных терминов, чтобы сойти здесь за своего.

— …Вот, я и спрашиваю, — продолжал увлекшийся изложением своей точки зрения Зенон, так и не заметивший опасности. — Как учение о бесконечно малых может преодолеть мой парадокс, если в нём самом заложено принуждение делить любые бесконечно малые на ещё более малые?

Коши откашлялся, принял торжественный вид встал из-за стола и, прохаживаясь по кабинету важно произнёс:

— Господа! (Теперь я называю вас так с полным основанием, а не из распространённой в наши времена трусливой вежливости). Вы обратились по адресу. Именно мне посчастливилось сформулировать основы того, что потомки назовут математическим анализом. Дело вот в чём.

Тут месье Коши как бы невзначай развернулся на сто восемьдесят градусов. Можно было подумать, что траектория его движения изменилась потому, что она начала угрожающе приближаться к сандалиям Ахиллеса, утратившим за время нашего путешествия первозданную свежесть. Но математик подошёл к столу, открыл ящик и достал оттуда учебник пахнущий, в отличие от видавшей виды обуви, типографской краской. На обложке среди модных виньеток красовались заглавие «Алгебраический анализ» и год издания — 1821.

— Месье Зенон, рад вам сообщить, что спустя 2300 лет ваш парадокс перестал быть мистикой. Ох, и задали же вы нам, математикам, задачку! Сами-то, наверно, ответ знали с самого начала, но решили дать человечеству повод поломать голову, развить математику, и я горжусь тем, что оказался первым, кто безупречно справился с вашим заданием. Примите от меня в знак уважения эту книгу с дарственной надписью, — он на минуту замолчал, выводя на форзаце: «Многоуважаемому Зенону от прилежного ученика Огюстена Луи Коши», потом продолжил. — Вот плоды моего многолетнего труда, превращающего интуитивные догадки Ньютона и Лейбница по поводу бесконечно малых величин в строгие определения. Епископ Беркли был прав: ещё каких-то 100 лет назад бесконечно малые были призраками. Но я изгнал их! У меня бесконечно малая — это не число, а переменная величина, предел которой равен нулю. Ахиллес догонит черепаху, потому что сумма бесконечного ряда его шагов имеет конечный предел. Математика больше не статична, она движется!

— А вы не могли бы вписать туда слово «барон»? «От барона Огюстена Луи Коши», — попросил я.

­— Но я не барон… — изумился математик.

— Будете, лет через 10, поверьте обладателю машины времени, — сказал я, сворачивая окно Википедии и обесточивая смартфон, потому что даже с учётом повербанка заряд подходил к концу.

Коши почему-то легко мне поверил и не без удовольствия дописал на свободном месте свой будущий титул.

— Зачем это нам? — шепнул Зенон.

— Скоро пригодится, — пообещал я.

Мудрецы ещё немного пообщались между собой, полистали свежеизданный учебник. Было заметно, что Зенон скис: он придумывал свой парадокс вовсе не для того, чтобы «человечество поупражнялось в математике». Он был искренне уверен в том, что апория про гонку Ахиллеса и черепахи истинна, что движения во Вселенной не существует благодаря бесконечной делимости пространства. Он готов был лучше согласиться с тем, что органы чувств нас обманывают, чем пожертвовать такой красивой идеей, как бесконечно замедляющееся движение.

Мне стало жаль старика, и, хотя месье Коши явно хотелось ещё похвастаться своими достижениями в области математического анализа, мы засобирались на выход.

— Уже уходите? — вежливо спросил хозяин, у которого тоже были служебные дела по управлению Политехнической школой.

— Да, нужно ещё к месье Вольта заскочить, смартфон подзарядить… То есть, машину времени топливом дозаправить.

— Вы с ним знакомы? Передавайте привет, с интересом читаю его сообщения о гальванических опытах.

— Всенепременнейше! Au revoir, месье Коши!

— Au revoir, господа, счастливого пути.

Выйдя из Политехнической школы, мы направились на заливные луга, раскинувшиеся за городом вдоль Сены, чтобы Аврора могла пощипать свежей травки. Ахиллес брюзжал:

— Au revoir, счастливого пути… покормил бы хоть гостей с дороги да в ведомственную гостиницу какую-нибудь пристроил… Да в баньке попарил, — добавил он, почёсываясь. — Пренеприятнейший типок, зря я ему морду не набил. Не люблю таких, — закончил он, сплюнув сквозь зубы точь-в-точь как какой-нибудь браток из наших 1990-х.

— Мне он тоже не понравился, но не своей надменностью, а тем, что так и не смог убедить меня в несовершенстве моего парадокса, — поддакнул Зенон. — Вроде, и учебник у него получился толковый, и явные промахи Ньютона с Лейбницем формулами прикрыты, но чует моё сердце — где-то там подвох. Сердце чует, а на словах выразить не могу. Так что, может, Ахиллес и прав…

— Вы слышали что-нибудь про эффект бабочки? — обратился я к Зенону, пропуская мимо ушей продолжающиеся жалобы Ахиллеса на бурчание в пустом животе.

— Нет, а что это? Если какой-нибудь парадокс, расскажите, вы же знаете, я их коллекционирую.

— Именно парадокс! Заключается в том, что если бы полчаса назад наш воинственный друг покалечил месье Коши, тот не довёл бы до конца свои исследования по математическому анализу, а это, в свою очередь, не позволило бы Карлу Вейерштрассу усовершенствовать теоретический аппарат, безупречно опровергающий парадокс об Ахиллесе и черепахе, то есть узнать, в чём подвох, который вы заподозрили в учебнике Коши.

— На что вы, Эйкостос Протос, намекаете?

— На то, что прямо сейчас мы едем в Германию, в самый разгар времени, для которого французы придумали название La Belle Epoque. Там и пообедаем, — добавил я, перехватив вопросительный взгляд Ахиллеса. Запрягай, ветеран!

Вейерштрасс здесь больше не живёт

Есть хотелось не только Ахиллесу. Зенон и я тоже были не прочь подкрепиться, но золотые античные монеты, которые элеец прихватил с собой в дорогу, заканчивались. К тому же часть их пришлось потратить на более современную одежду, потому что угроза оказаться в сумасшедшем доме или тюрьме была ежеминутной. Хорошо хоть полицейские побаивались грозного вида Ахиллеса и не слишком приставали, но такого телохранителя следовало хорошо кормить, поэтому вскоре мы оказались совсем на мели. Пробовали зарабатывать катанием детишек на Авроре в саду Тюильри, но это не понравилось уже ей, а обижать такого ценного члена команды было никак нельзя.

Между тем у меня был прекрасный бизнес-план, но для его осуществления нужно было оказаться в Германии, причём как можно дальше по времени, но так, чтобы ещё застать Вейерштрасса в живых. Поэтому мы отправились прямо в 1896-й, последний полный год его жизни, в надежде побеседовать с математиком, окончательно сформировавшим свои теоретические взгляды.

В Берлин мы приехали накануне Рождества. Для Авроры нашлась стоянка на каком-то пригородном хуторе, хозяевам которого мы разрешили показывать черепаху соседям за деньги, с условием, чтобы о ней хорошенько заботились. Потом пошли по антикварным лавкам, предлагая тот самый учебник с дарственной надписью «барона Коши». Местные торговцы, конечно же, не раз хотели нас объегорить и забрать раритет за бесценок, но я не зря в 1990-е торговал книгами на Невском проспекте — знаю цену таким вещам. В конце концов удалось найти ценителя, который согласился купить у нас этот уникальный экземпляр за сумму, на которую в Берлине втроём можно было безбедно прожить несколько недель. Его не смутил даже такой анахронизм, как баронский титул в дарственной надписи. Наоборот, именно это и делало книгу в его глазах более ценной. Не обратил он внимания и на то, что от книги по-прежнему (то есть уже 76 лет) сильно пахло типографской краской.

Удалось продать под видом «старинной одежды» даже шмотки, в которых мы приехали из Парижа 1821 года. Старьёвщик цокал языком, удивляясь, в какой хорошей они сохранности, и не только охотно обменял на современную, соответствующую концу XIX века немецкую одежду, но и щедро приплатил наличными. Оказалось, что с помощью машины времени можно зарабатывать даже в эпоху, когда до появления биткоина остаётся ещё лет сто!

Накормив Ахиллеса до отвала сардельками, тушеной капустой и напоив пивом, которое ему с каждым разом нравилось всё больше, мы, наконец, отправились искать Карла Вейерштрасса. Это было несложно, учитывая его известность, но выяснилось, что он уже год как серьёзно болен, и врачи не допускают к нему не только посторонних, но и ближайших друзей.

Ситуацию скрасило празднование Рождества и Нового года, но в январе мы снова вспомнили, зачем оказались в Берлине. Мы по-прежнему хотели из первых уст услышать, как Вейерштрасс опровергает парадокс Зенона, но рассчитывать приходилось уже не на него самого, а лишь на его учеников.

Ситуацию осложняло то, что нам так и не удалось подзарядить смартфон у господина Вольта. Его столбики, сложенные из металлических кружочков, оказались слишком маломощными. В Берлине 1897 года с этим было попроще. Здесь уже было полно электротоваров. Купив автомобильный аккумулятор и понизив его напряжение с помощью нескольких соединённых хитрым способом ламп накаливания до пяти вольт, я всё-таки подзарядил смартфон до уровня, чтобы можно было хотя бы заглядывать в Википедию. Открыв её, я узнал, что одним из любимых учеников Карла Вейерштрасса был Георг Кантор, которого мы и решили порасспрашивать. Где его найти, мы тоже знали, и знание это было предельно циничным и предельно логичным: гарантированно встретиться с Кантором можно было на похоронах Карла Вейерштрасса, который должен был скончаться 19 февраля 1897 года, но местные об этом ещё не знали.

— Как же мы узнаем Георга Кантора среди других скорбящих? — волновался Зенон, когда мы подошли к зданию, где несколько дней назад скончался великий математик, а теперь начиналась траурная церемония. — Более того, сможем ли мы с нами общаться, ведь никто из нас не знает немецкого? (Свои лингвистические услуги он предлагать уже не пытался).

— Выглядит он вот так, — продемонстрировал я экран смартфона с соответствующей страницей Википедии, — а насчёт языкового барьера не беспокойтесь.

— Вы изучали немецкий в школе?

— Изучал, но ни черта не помню.

— Опять будете переводить с помощью смартфона? — Во время одного из перелётов я провёл для своих античных спутников небольшую лекцию по современным мне информационным технологиям. После этого довольно уверенно пользоваться мобильным устройством стал даже Ахиллес, всё чаще с тех пор выпрашивавший у меня компьютер, чтобы поиграть в «Сапёра». Зенон же тогда пробурчал что-то вроде: «Не так уж и сложно двигать научно-технический прогресс тем, кто стоит на плечах античных гигантов мысли». Я не стал возражать. В конце концов у него была настоящая машина времени с биологическим движителем, а у меня всего лишь размеченный определённым образом кусок кремния, устроенный, по мнению элейца, ничуть не сложнее наскальных рисунков времён неолита.

— Тот варварский способ, которым мы зарядили смартфон, даёт не много шансов на то, что непосредственный перевод речи проработает дольше пяти минут: это слишком нагружает процессор.

Зенон посмотрел на меня изумлённым взглядом, но не потому, что не понял как процессор рассеивает энергию. Он хотел понять, как же мы будем общаться с Георгом Кантором? Я ответил типично русской гримасой, сопровождаемой обычно жестом ладони: «Всё под контролем!», и он, почему-то, понял её без дополнительных разъяснений.

Глазастый и рослый Ахиллес без труда высмотрел Кантора в толпе провожавших Вейерштрасса в последний путь. Мы не стали беспокоить математика в минуты прощания с учителем и дождались момента, когда он засобирался домой. Не сказать, что Георг обрадовался, когда мы остановили его на тёмной улице (темнеет в феврале рано, а безупречное освещение в те годы немцы наладили ещё не везде). Мало кто не забеспокоится, когда к тебе в сумерках подходят двухметровый громила, пучеглазый старик с всклокоченной бородой и кто-то из Европы настолько восточной, что трудно понять, что у него на лице — приветливая улыбка или монгольский прищур. Тут я явил чудо, тщательно прибережённое именно для этого момента:

— Господин Кантор, — обратился я к одному из любимейших учеников Вейерштрасса на чистейшем русском языке. — Не пугайтесь, мы не грабители. Мы хотели бы поговорить с вами о математике, поскольку тоже с большим вниманием относимся к теоретическому наследию вашего великого наставника. Правда, у нас для этого довольно специфическая причина. Если вы не торопитесь — зайдём в кафе, где мы могли бы почтить память мэтра, а заодно прояснить вопрос, имеющий непосредственное отношение к теории пределов.

Герр Кантор, потянувшийся было в карман пальто за браунингом, облегчённо выдохнул.

— Да, извольте, земляк, зайдём, погреемся. Чертовски намёрзся на кладбище, как бы не схватить простуду. В такие моменты даже математикам не мешает пропустить стаканчик доброй горилки.

«Земляк?!» — снова одним взглядом изумился Зенон. «О то ж!» — горделиво сгримасничал я.

— Давно из Питера? — спросил Кантор, когда мы уютно расселись в тёплом зале какого-то ресторанчика, заказали шнапса и столь полюбившихся Ахиллесу сарделек с тушеной капустой. Наш воин вообще стал напоминать видом и повадками доброго бюргера, что, в сочетании с его комплекцией, помогало избегать ненужных разговоров с полицией. Я дал ему смартфон: пусть добивает заряд своим «Сапёром», поездка, по-видимому, близится к концу.

— Да я, видите ли, не из Питера, и даже не из Москвы… Сейчас объясню, но прежде позвольте представить моих спутников. Это… греки (я не решился добавить слово «древние», чтобы в очередной раз не заронить в голову собеседника мысли о сумасшедшем доме). Почтенного философа зовут Зенон, а здоровяка — Ахиллес. Неправда ли, имена так идут к их внешности?

— Очень приятно, — отозвался Георг, приветственно потрясая руки моих спутников. — Особенно похвально, что родители старика дали ему античное имя. Ведь он, похоже, родился в начале XIX века, когда возрождающаяся Эллада вела освободительную борьбу против турецкого владычества. Вот и Карл Вейерштрасс, которого мы поминаем сегодня, родился примерно тогда же, в 1815 году.

Тут мы выпили за усопшего великого математика не чокаясь, а я, воспользовавшись паузой, очень осторожно рассказал герру Кантору о том, кто мы такие на самом деле, как оказались в Берлине его времени, а самое главное — зачем. Подогретый спиртным Георг, по-видимому, даже обрадовался случаю поговорить о математике, тем более, что это было вполне уместно в такой день:

— Честно говоря, мне всё равно, ряженые вы шутники или действительно прибыли сюда на машине времени. Пару лет назад англичанин Уэллс издал роман с таким названием, а мы уже привыкли к тому, что всё, о чём пишут фантасты, через несколько лет становится явью. — На этих словах он покосился на смартфон, которым забавлялся Ахиллес. — Как бы то ни было, я уверен, что человеческий мозг ещё долго будет оставаться основным инструментом познания, поэтому в любом случае мне симпатичен ваш интерес к теории пределов, и я готов пояснить основные моменты, связанные с вашими приключениями.

Начнём с вашей парижской встречи. Огюстен Луи Коши, конечно, навёл порядок в математике, но не до конца. Его идея о том, что бесконечно малые есть переменные, стремящиеся к нулю, оставалась плодотворной лишь до поры до времени. По сути, он так и не выбрался из ловушки Зенона. Не этого почтенного грека, а того, античного. Коши вернул в чистую математику физическое время и интуитивное движение, словечки «стремится», «приближается» и тем самым испортил представление о непрерывности функций. Вот этим-то — устранением субъективности, исправлением ошибки Коши и занимался всю жизнь мой учитель Карл Вейерштрасс, если говорить несколько упрощённо.

Например, Коши считал, что если есть бесконечная сумма (ряд) функций, и каждая из этих функций гладкая и непрерывная (без разрывов), то и их итоговая сумма тоже будет непрерывной. Только вот утверждал он это бездоказательно, опираясь на интуицию. Оказалось, что опровергнуть Коши при желании может даже не слишком опытный, но наблюдательный математик. 23-летний норвежец Нильс Абель уже в 1826 году, то есть задолго до того, как Коши закончил свою научную карьеру, придумал такую функцию, которая сумму плавных рядов собой представляла, а вот сама «гладенькой» быть отказывалась. На этих словах герр Кантор взял салфетку, карандаш и нарисовал график:

А ведь в качестве исходных данных Абель взял ряд полностью соответствующих требованиям Коши идеально гладких синусов:

или, если вас не страшит такое:

— Когда Абель опубликовал этот график, — продолжал Георг, — математический мир ахнул: бесконечная сумма идеально непрерывных функций дала разрывную ступенчатую функцию! Закон Коши сломался.

Меня-то формулы не страшили, я их много перевидал в студенческие годы, а вот Зенон давно уже ёрзал на стуле и, как только герр Кантор взял небольшую паузу, всем своим видом изъявил желание высказаться. Я думал, он сейчас начнёт возмущаться тем, что ему отказывают в праве называться тем самым философом Зеноном, жившим в V веке до нашей эры, или опять скажет, что ему всё пытаются объяснить на недоступном «птичьем языке», но он вместо этого буквально взревел:

— На-ду-ли! Наглейшим образом надули! В Лондоне надули, в Париже надули! И вот мы в Берлине… Я не удивлюсь, если и вы, господин Кантор, и ваш учитель Вейерштрасс не сможете разубедить меня в том, что Ахиллес не обгонит черепаху!

— De mortuis aut bene aut nihil, — охладил я его пыл, подогретый шнапсом, о котором он в начале ужина, как и о пиве, пробурчал что-то в духе «напиток варваров и рабов», но потом так подналёг, что ничуть не уступал нам с Георгом.

— Вы можете сколько угодно возмущаться, герр Зенон, — продолжал невозмутимым голосом Кантор, — но я точно знаю, что парадокс об Ахиллесе и черепахе опровержим. Не «догадываюсь», не «чувствую», а именно твёрдо знаю, и могу воспроизвести это доказательство в любое время дня и ночи, да ещё так, что и вас смогу убедить.

— Ставлю свою бороду против ваших золотых часов! — разошёлся непривычный к крепкому алкоголю и поэтому первым опьяневший Зенон.

— Что ж, извольте. Я мог бы сейчас повторить то доказательство, которое вы, несомненно, уже слышали, и продемонстрировать, что точкой схождения во времени и для Ахиллеса, и для черепахи является одно и то же число — 111,1(1) секунд, но вас оно, судя по всему, не впечатлило. Поэтому я поступлю как психолог (у нас тут, знаете ли, в последние годы очень популярными стали учения о подсознании). Дело в том, что в вашей голове никак не могут ужиться разнородные числа. Десятичные «живут» в одной области, делящиеся без остатка на 3 — в другой, квадратный корень из двойки, $\pi$ и основание натурального логарифма — в третьей. Между тем все они принадлежат одной и той же числовой прямой. Она для них как любящая мать, в просторном доме которой для каждого находится уютный уголок. Так что черепаха, проползая, скажем, первые 500 шагов своего пути, обязательно побывает в «странных» точках, значащихся как 0, $\pi$, $\mathrm{e}$, корень из двух, 333,3(3), с такой же достоверностью, как в «выглядящих прилично» точках 1, 2, 3… 300, 500. Причём сделает она это вне зависимости от того, гонится за ней Ахиллес или нет. Пересечёт она и точку 1111,1(1), где атлет догонит её, учитывая фору в 1000 шагов. Непрерывная числовая прямая, понимаете? Непрерывная!

— Непрерывная?.. — Зенон завис на манер компьютера, у которого закончилось swap-пространство на жёстком диске, да так и остался сидеть с отвисшей челюстью.

— Зенон, похоже, тоже сломался, — заметил я. — Не могли бы вы продолжить лекцию для… нас с Ахиллесом?

Это была, конечно, ирония. Воина формулы нисколько не интересовали, поскольку он, кажется, нашёл на смартфоне непонятно как там оказавшуюся папку с именем xxx и с головой погрузился в её содержимое. Поэтому лекция превратилась в персональную:

— Понимаешь, Мишаня, — доверительно продолжал Кантор, которого тоже уже изрядно развезло, — Коши думал, что если в каждой конкретной точке ряд сходится, то этого достаточно. Но он упустил из виду скорость этой сходимости. На моем графике видно, что ближе к краям (к числу $\pi$) синусоиды начинают бешено изгибаться. Это называется эффектом Гиббса. Ряд сходится к прямой линии везде, но делает это с разной скоростью! В самом центре — мгновенно, а у краев — бесконечно долго. Коши доверился физической интуиции «приближения», но оно в его грубой интерпретации оказалось неравномерным. Карл Вейерштрасс исправил это, введя жёсткое понятие равномерной сходимости, а мы с моим дорогим другом и коллегой Рихардом Дедекиндом продолжили его дело. Двигаясь параллельными путями и постоянно споря в письмах, мы довели теорию непрерывности до абсолютной строгости: Дедекинд закрыл бреши в понятии вещественного числа, а я создал теорию множеств. Теперь числовая прямая — это не интуитивная линия, а монолитный континуум. Благодаря сечениям Дедекинда математики строго доказали: любая последовательность, которая куда-то стремится, обязательно придёт в реальную, существующую точку континуума. Впрочем, почитайте про «сечение Дедекинда» самостоятельно, а то я что-то начинаю терять отчётливость мысли. Выйдем на улицу минут на пять, надо бы освежиться.

Немного протрезвев на февральском морозце, мы вернулись в зал, где Ахиллес и Зенон уже кемарили каждый на своём стуле. Мы же с Георгом продолжили разговор, но уже просто «за жизнь». Мне как историку хотелось, пользуясь случаем, узнать побольше о годах его учёбы в Петербурге, о знакомстве Вейерштрасса с Софьей Ковалевской, о зарождающемся психоанализе, о местной социал-демократии, и под конец я даже забыл, что приехал сюда ради выяснения чисто математических вопросов.

Пока мы всей компанией провожали Кантора домой, пары алкоголя понемногу улетучились. Прощаясь, он похлопал Зенона по плечу, как будто был среди нас старшим, и сказал:

— Герр Зенон! Вы, конечно, вправе перебирать десятые доли десятых долей сколь угодно долго, но не брезгуйте и другими числами, если таковые встретятся вам на числовой прямой. Я говорю не только об 1111,1(1). Вы не представляете себе, сколько их там, и по большей части они иррациональные, ни к чему не сводимые, или, говоря вашим языком, «неприглядные» и «бесконечные». Если каждому пытаться придавать какой-то смысл — не только формул, но и знаков не напасёшься. Когда вы в следующий раз будете размышлять о состязании Ахиллеса и черепахи, не жадничайте, а берите столько, сколько вам нужно для практических целей. Старина Леонтий был прав: у Бога нет плохих чисел, есть только плохие намерения, для которых человек хочет применить математику.

После проводов Кантора нас окончательно отрезвила мысль: «Как там Аврора?» Наняв втридорога извозчика, согласившегося подбросить нас до хутора, где была оставлена черепаха, мы вскоре убедились, что спешили не зря. Фермеры встретили нас бранью: мол, никакие сборы от показа гигантской черепахи соседям не покрывают расходов на её содержание. «Всё сено у нас сожрала, троглодита проклятая, — бушевал отец семейства, — а до первой травы ещё два месяца! Чем мы коров кормить будем? У нас тут не Тиргартен!» Надо отдать фермерам должное. Несмотря на возмущение, они держали Аврору в тепле и ухаживали за ней, по её отзывам, вполне сносно. Более того, крестьяне немного лукавили, заявляя, что заработали на импровизированном шоу-бизнесе недостаточно средств, иначе с чего бы в их доме среди зимы появиться пианино и ещё кое-каким приятным мелочам? Как бы то ни было, мы выгребли из карманов всё до последней рейхсмарки (я взял на память лишь мелкую монетку) и, поблагодарив за сохранность «машины времени», тронулись в обратный путь.

— Надеюсь, вы подбросите меня домой, в XXI век? — тронул я за плечо всё ещё пребывающего в прострации Зенона.

— А?.. — испуганно откликнулся он, не переставая почёсывать непривычно бритый подбородок. — Домой? Да, конечно. Ахиллес, подбрось товарища Эйкостоса Протоса туда, где мы его нашли…

Когда мы прощались с Ахиллесом, он долго мялся, как бы не решаясь задать какой-то вопрос. Я сообразил, что он хотел бы заполучить на память мой сотовый, в котором ещё теплился какой-то заряд, и я охотно подарил его античному герою. Всё равно новый собирался покупать. Зенон же попрощался со мной очень рассеянно и прохладно, чем даже немного обидел. Впрочем, он — один из величайших мудрецов, ему позволительны такие вольности. Потрепав на прощание Аврору по морщинистой макушке, я крикнул: «Счастливого пути!», и колесница времени растворилась в пространственно-временном континууме.

Через месяц я вычитал в новостях, что археологи обнаружили на берегу Тирренского моря античный кувшин со смолой, остатками лимонной кислоты и какими-то металлическими штырями, напоминающими электроды. Такие находки встречались среди древностей и раньше, одна из них известна как «багдадская батарейка». Но тирренская отличалась двумя особенностями. Когда её наполнили водой, она выдала ровно 5 вольт. Самое же удивительное — рядом нашли тонкую керамическую пластинку с нанесённым на ней медным узором, удивительно точно совпадающим с дорожками разъёма USB Type-C. Учёные начали гадать, что это: розыгрыш современных пранкеров или, напротив, электронные корпорации руководствуются какими-то тайными стандартами, сохранившимися с античных времён. И только я знал точный ответ. Зенон не зря был задумчив на обратном пути. Он, видимо, наконец-то забросил размышления о том, догонит ли Ахиллес черепаху, и принялся, на китайский манер «копипастить» мой смартфон. Ему, в отличие от Ахиллеса, стыдно было признаться, что и он не прочь в такой поиграться. Ведь это же Зенон, поклонник чистого мышления, один из столпов античной философии, а вот поди ж ты — потянуло старика к практике… Значит, не зря прокатились!