Ох и не везло же нашей группе в университете с преподавателями философии! Она сформировалась на вечернем отделении исторического факультета ЯрГУ в 1988 году, в самый разгар Перестройки. Огромным плюсом было то, что мы, наверное, стали первыми, кого уже не пичкали диалектическим материализмом. Те, кто поступил на год-два раньше, кажется, ещё застали историю КПСС. Нас же решили учить по-новому, с учётом захлестнувшего СССР потока гуманитарных знаний, которые в рекордные сроки превращались из полузапретных в обязательные. Студенты радостно ринулись в пучину западной философии, социологии, психологии и политологии, а вот для преподавателей, обескураженных отменой привычного марксистско-ленинского канона, это стало полной неожиданностью. Впрочем, не могу точно объяснить, почему они так не любили у нас бывать: то ли платили мало, то ли работать с «вечерниками» считалось непрестижно, то ли они просто слишком уставали на дневном потоке, то ли учебную программу не успели перестроить под новые веяния.

«Философы» менялись у нас каждый семестр. Самым толковым оказался, пожалуй, Михаил Юрьевич Мизулин — человек, явно подготовившийся к «новому мышлению» задолго до крушения социалистических идеалов. Он придерживался отчётливых неопозитивистских взглядов, которые и пытался привить студентам, решительно выбивая из наших голов винегрет из фрейдизма, неомарксизма и прочих модных концептов, стихийно проникавших в неокрепшие умы. Но наибольшее впечатление произвел не он. К сожалению, я не запомнил имени и отчества другого нашего наставника, который идеально подошёл бы на роль витающего в облаках интеллектуала-очкарика, если бы в позднем СССР снимали что-то вроде «Теории Большого взрыва». Прочитав лишь вводную часть курса, посвященную античной философии, он запомнился эмоциональным рассказом о парадоксах Зенона. Вскоре «очкарик» уволился, растворившись в перестроечном хаосе, и мы так и не узнали, чем же в итоге закончилось дело у Ахиллеса с Черепахой. Ощущение неразрешимости этой апории (от греч. ἀπορία — «безвыходное положение») крепко засело в глубинах моего подсознания. И вот, спустя более тридцати лет, я решил всё-таки выяснить, как же эта задача решается на самом деле.

На всякий случай напомню, в чём заключается парадокс (апория) Зенона Элейского.

Лучший атлет Греции Ахиллес соревнуется в беге с черепахой, дав ей фору, допустим, в 1000 шагов. Черепаха ползёт в 10 раз медленнее, чем бежит её соперник. За время, пока Ахиллес преодолевает стартовое расстояние, черепаха успевает проползти сто шагов вперёд. Когда он пробежит эту сотню, она продвинется ещё на десять, и так далее. Этот процесс, как утверждал Зенон, будет продолжаться бесконечно — следовательно, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

Разумеется, это всего лишь игра ума. На практике атлет обогнал бы медлительное животное за считанные минуты. Современный мировой рекорд в беге на 1000 метров, согласно Википедии, составляет 2 минуты 11 секунд, так что с учётом дополнительной стометровки «на догон» Ахиллес уложился бы минуты в две с половиной. Какая уж тут бесконечность!

Однако Зенон и его современники создавали свои задачи отнюдь не для спортивных ставок. Их интересовала чистая философия: границы человеческого разума, интеллектуальная состязательность, диалектика, под которой тогда понималось искусство ведения спора.

Обыденное мышление интуитивно чувствует, что разгадка апории Зенона где-то на поверхности. Ведь каждому очевидно, что быстроногий герой не может проиграть тихоходной рептилии. И тем не менее, опровержение этого парадокса стало теоретическим вызовом для многих поколений мыслителей. Состязанию Ахиллеса с черепахой уделили внимание Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, многие выдающиеся математики. Все понимали, что в рассуждениях элейского мудреца кроется какая-то уловка, но веками никто не мог строго сформулировать, в чём она заключается.

С точки зрения физики ситуация выглядит так, словно время замедляется до полной остановки по мере того, как Ахиллес приближается к черепахе. Но если время замерло, как сделать решающий шаг? С похожими ментальными тупиками много позже столкнётся Альберт Эйнштейн, размышляя о предельной скорости света и относительности времени.

С V века до нашей эры разобраться с «Ахиллесом и черепахой» стало делом чести для учёных, да и просто для энтузиастов просвещения. Оказалось, что за безобидным софизмом скрывается бездна. Я, как мне кажется, тоже нащупал одно из любопытных решений этой задачи и приведу его в финале этого текста, но сначала давайте рассмотрим классические и гораздо более авторитетные подходы.

Самое простое, чисто арифметическое опровержение парадокса Зенона выглядит бесхитростно:

За то время, пока Ахиллес пробегает первую тысячу шагов, черепаха проползает сто шагов в том же направлении. В течение следующего — точно такого же — промежутка времени атлет пробегает еще тысячу шагов, а черепаха продвигается еще на сто. Вуаля: теперь Ахиллес уже на девятьсот шагов впереди черепахи.

Такое «решение», прямо скажем, не изящно. Оно не разрешает парадокс, а просто грубо отбрасывает его в сторону, меняя правила игры, заданные автором. То же самое можно сказать и о попытках опровергнуть апорию чистой практикой. Зенон, вслед за своим учителем Парменидом, вовсе не стремился пощекотать нервы любителям интеллектуальных трюков. Элеаты пытались доказать монументальный тезис: движения в подлинном смысле слова не существует. Поэтому, когда Диоген Синопский в ответ на это утверждение просто встал и начал ходить взад-вперёд, наглядно демонстрируя метод «Solvitur ambulando» («доказывается делом»), он никого, по сути, не переубедил. Все и без Диогена прекрасно знали на уровне здравого смысла, что даже не самый быстроногий человек легко обгонит сухопутную черепаху.

Зенон и Парменид имели в виду совсем другое: да, в мире чувств движение обнаруживается но не обманывают ли нас наши глаза и уши? Логика, по их мнению, неукоснительно свидетельствовала об иллюзорности движения на фундаментальном уровне. Только вот где именно кроется изъян в рассуждениях об Ахиллесе и черепахе, и есть ли он там вообще?

Пытался решить этот парадокс и живший в IV веке до нашей эры Аристотель. Он утверждал, что не только пространство, но и время делимо до бесконечности. Следовательно, в бесконечно малые отрезки времени можно пройти бесконечно малые отрезки пути. Каждый последующий отрезок пути Ахиллеса в десять раз короче предыдущего — соответственно, и время, затраченное на его преодоление, сжимается в десять раз. Аристотель подытоживал: Ахиллес покроет бесконечное число отрезков за конечное, «бесконечно раздробленное» время. Однако такая логика, как обнаружилось позднее, математически всё-таки не безупречна, поэтому мы не будем здесь останавливаться на рассуждениях Аристотеля подробно. В конце концов, это эссе — лишь исторический экскурс.

Настоящий прорыв, как это часто бывает в науке, произошел в XVII веке, когда Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц независимо друг от друга разработали методы дифференциального и интегрального исчисления. Это наконец-то позволило оперировать бесконечно малыми величинами обоснованно, на языке строгих алгоритмов, а не на уровне чистой интуиции, как это делал Аристотель. Математики научились безупречно находить точку пересечения путей Ахиллеса и черепахи как во времени, так и в пространстве.

Строгое же обоснование математического разрешения парадокса сформулировали Огюстен Луи Коши и Карл Вейерштрасс в XIX веке. Именно тогда в споре была поставлена окончательная точка — по крайней мере, математическая. Из научного решения наконец-то исчезли любые интуитивные лазейки, уступив место строгому языку математической логики. Было окончательно доказано, что сумма бесконечного ряда промежутков времени (или расстояний) может сходиться к конкретному конечному числу. Говоря простым языком: Ахиллес действительно делает бесконечное число «подшагов», но совершает их за конечный отрезок времени, внутри которого он плавно и неизбежно обгоняет черепаху. Эта ситуация описывается классической формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

— где (a) — первоначальный разрыв (1000 шагов), а (q) — коэффициент уменьшения каждого следующего отрезка (1/10). Подставив наши значения, мы получим точную координату встречи: (1111,11...).

Несмотря на триумф Коши и Вейерштрасса, парадокс Зенона до сих пор остаётся «пробным камнем», на котором проверяют остроту ума математики и физики. Древняя апория не только заставляет задуматься о фундаментальном устройстве мироздания — состоит ли наша Вселенная из непрерывного пространства или же оно дискретно (то есть делится лишь до Планковской длины). Оно описывает экспериментально подтверждённый феномен мира элементарных частиц, который так и называется — квантовый эффект Зенона. Суть его в том, что непрерывное и частое наблюдение за нестабильной системой, состоящей из элементарных частиц, буквально «замораживает» её эволюцию подобно тому, как Ахиллес «застывает» в глазах наблюдателя по мере приближения к черепахе.

Математики тоже не стоят на месте. Для глубокого анализа этой задачи сегодня применяется концепция «единиц измерения переменной длины», или сжимающихся интервалов. Она сформировалась уже в XX веке в рамках нестандартного математического анализа Абрахама Робинсона. Разгадка здесь в том, что автор апории незаметно для читателя совершает подмену понятий в самой системе количественной оценки пространства и времени. В повседневной жизни мы измеряем мир «статичными линейками» (метрами и секундами), неизменными на всём протяжении пути. Элейский же мыслитель навязывает нам «динамическую линейку»: каждый следующий рассматриваемый отрезок по определению в десять раз короче предыдущего. С каждым новым шагом Ахиллеса навязанная нам единица измерения длины и времени сжимается. С точки зрения нестандартного анализа, строится шкала, где точка встречи искусственно уведена в актуальную бесконечность — за видимые пределы измерения. Говоря простым языком, время начинает исчисляться не в секундах, а в гипотетических «зенонах» (где первый зенон равен 1/2 секунды, второй — 1/4 секунды и так далее). В этой переменной шкале приборы зафиксируют бесконечное количество единиц времени, хотя на наших обычных часах протикает всего одна секунда.

Теперь, как и обещал, я приведу собственное решение рассматриваемого парадокса, которое как-то само собой оформилось у меня на днях. Скорее всего, оно не ново и является популярной версией чего-то давно сформулированного в научном мире, но, по крайней мере, полностью устраивает меня лично. Правда, работает нижеследующее рассуждение лишь там, где материя дискретна, пространство состоит из неделимых ячеек (планковских длин), а энергия передаётся квантами.

Я бы назвал своё решение логически-юридическим, поскольку оно базируется на договоренностях о соблюдении изначально заданных условий, главное из которых — Ахиллес бежит быстрее черепахи.

При поиске ответа мы будем исходить из того, что пройденный путь в конце концов начинает делиться на фрагменты, мельче которых в нашей физической реальности ничего быть не может. Представим, что Ахиллес говорит:

Черепаха, я уже дал тебе фору в 1000 шагов, но готов пойти на ещё одну уступку. Когда мы доберёмся до столь мелких участков пути, что делить их физически можно будет только на целые части, я сброшу скорость и буду бежать не в десять, а всего в два раза быстрее тебя. Так нам будет гораздо удобнее считать пройденные кванты пространства.

И вот дистанция между ними сократилась до 10 условных «атомов пространства». Пока Ахиллес покрывал это расстояние, черепаха уползла вперёд на 5 единиц. На следующем этапе, пока Ахиллес продвинулся на эти 5 единиц, черепаха проползла… нет, не 2,5. Такого дробления в дискретном мире просто не существует. Поэтому наши спортсмены решили округлить значение до 3 — так и быть, в пользу черепахи.

Пока Ахиллес преодолевал эти 3 единицы, черепаха продвинулась… снова не на 1,5, а по правилу округления на 2. Пока он пробежал эти 2, она продвинулась на 1. Попробовали разделить пополам и эту единицу, но при округлении в большую сторону всё равно получается единица.

В этот критический момент Ахиллес имеет полное юридическое право заявить:— Извини, дорогая, но я сделал для тебя всё, что мог. На следующем этапе, пока ты ползёшь на расстояние в 1 квант, мне по округлённым расчётам надлежало бы продвинуться тоже на 1. Но по главному условию нашей задачи я бегу быстрее тебя, а значит, меньше чем на 2 кванта я продвинуться просто не имею права!

В это мгновение Ахиллес пересекает неделимую границу и устремляется вперёд уже без оглядки на капризы Черепахи и уловки Зенона.

У рассматриваемого парадокса, помимо математического и квантового, есть чисто бытовое, волевое решение. Оно уже знакомо нам по поведению киника Диогена, опровергшего апорию ходьбой. Однако в античности подобный метод преодоления ментальных ловушек знали и по другому знаменитому сюжету — мифу о встрече Эдипа со Сфингой (древнегреческим чудовищем женского рода, известной у нас как Сфинкс).

В популярной версии мифа монстр, охраняющий тропу вдоль обрыва, задаёт прохожим загадку: «Кто утром ходит на четырёх ногах, днём на двух, а вечером на трёх?» Эдип легко ответил, что это человек в разные периоды своей жизни. Удовлетворившись разгадкой, Сфинга позволила герою пройти, словно это был такой уж сложный ребус.

Но существует гораздо более глубокий, логический вариант этой легенды. Сфинга спрашивает путника: «Съем ли я тебя так же, как съедаю всех, кто оказывается на этой тропе?» Подвох здесь в том, что при любом стандартном ответе чудовище оказывается в выигрыше. Скажешь: «Да, съешь» — она отвечает: «Правильно!» — и съедает. Скажешь: «Нет, не съешь» — она объявляет: «Неправильно!» — и снова съедает. Эдип не стал ломать голову над этим парадоксом рекурсии, а просто взял и сбросил Сфингу со скалы.

Нечто подобное — но уже применительно к Ахиллесу и Черепахе — много веков спустя описал автор сказок «Алиса в Стране чудес» и «Алиса в Зазеркалье» Льюис Кэрролл. Современникам он был прекрасно известен под своим настоящим именем — Чарльз Доджсон, и был он не только и не столько детским писателем, сколько блестящим оксфордским математиком и специалистом по математической логике.

В забавном миниатюрном рассказе, который Кэрролл зарифмовал с апорией Зенона, развязка оказывается далеко не столь героической, как в случае с Эдипом. Греческий герой предстаёт здесь редкостным простофилей. Вместо того чтобы решительно прекратить мошенническую игру своей соперницы, Ахиллес упорно продолжает «искать истину» себе же в убыток. Выиграв физическую гонку в пространстве, он с треском проигрывает интеллектуальную дуэль, так и не догадавшись применить столь уместный здесь метод Диогена-Эдипа.

Чтобы читатель смог самостоятельно оценить всю глубину и иронию этой логической ловушки, я привожу текст рассказа прямо здесь — в собственном, достаточно вольном переводе, выполненном с учётом нашего культурного кода и менталитета.

Льюис Кэррол. Что Черепаха сказала Ахиллесу

(Источник картинки здесь)

Ахилл обогнал Черепаху и удобно устроился у неё на спине.

– Значит, ты считаешь, что наш забег окончен? — спросила Черепаха. — И тебя совсем не смущает, что он состоял из бесконечного ряда уменьшающихся отрезков? Я-то наивно полагала, будто какой-то древний мудрец железно доказал, что мы обречены бежать вечно.

— Доказать-то, может, и доказал, да только практика — лучший критерий истины, — усмехнулся Ахилл. — Как говаривал Диоген Синопский: «Solvitur ambulando» — «решается ходьбой». Помнишь, когда ему доказывали, что движения нет, он просто встал и стал прохаживаться туда-сюда? Вот и я просто взял и побежал. Раз уж расстояния постоянно уменьшались, почему бы тебя и не обогнать?

– А если бы они постоянно увеличивались? — хитро прищурилась Черепаха.

– Ну, тогда я бы сейчас не сидел так уютно на твоем панцире, — скромно признался герой, — а ты к этому моменту успела бы пару раз обогнуть земной шар.

– Ты мне льстишь, — вздохнула Черепаха. — Наверное, ты думаешь, что раз уж ты у нас чемпион во всех дисциплинах, то и проиграть в принципе не можешь? А хочешь узнать о другой гонке? Большинство людей наивно полагают, что в ней можно добраться до финиша всего за два-три шага. На самом же деле она состоит из бесконечного числа этапов, и каждый следующий уводит тебя всё дальше от цели.

– Ну-ка, ну-ка! — заинтересовался воспитанник Хирона. Он запустил руку под шлем (поскольку карманов древнегреческим воинам тогда еще не полагалось) и извлек оттуда огромную тетрадь, а из ножен вместо меча достал карандаш. — Выкладывай, я записываю! Только помедленнее, пожалуйста. Стенографию-то еще не изобрели!

– Начнём-ка мы с Первой аксиомы Евклида, — мечтательно прикрыв глаза, начала Черепаха. — Евклидовы «Начала» просто восхитительны, не правда ли?

– О то ж! — поддакнул Ахиллес, хотя в сторону скептически буркнул: — Довольно странно восхищаться трактатом, который опубликуют только через несколько столетий.

– Вот и славно, — продолжила Черепаха, сделав вид, что не расслышала иронии. — Давай, оттолкнувшись от этой аксиомы, сформулируем пару посылок и вывод из них. Запиши у себя в тетрадке:

A: вещи, равные одному и тому же, равны между собой;
B: две стороны этого треугольника — это как раз вещи, равные одному и тому же;
Z: следовательно, две стороны этого треугольника равны между собой.

Думаю, любой читатель Евклида охотно согласится, что Z железно следует из A и B. И всякий, кто признает A и B истинными, обязан признать истинным и Z.

– Несомненно! — согласился Ахиллес. — Это и первоклассник поймет, как только будут изобретены средние школы, лет эдак через тысячу.

– А если бы кто-нибудь из читателей не принял A и B за истину, — продолжала Черепаха, — мог бы он при этом считать сам ход рассуждения правильным?

– То есть если бы он сказал: «Я согласен с правилом, что если посылки A и B истинны, то и следствие Z должно быть истинным; вот только сами A и B я истинными не считаю»? Ну, такому читателю лучше бы держаться подальше от геометрии и переключиться, например, на футбол.

– А найдётся ли читатель, который скажет наоборот: «Я признаю A и B чистейшей правдой, но я категорически не принимаю само логическое правило, связывающее их с Z»?

– Найдётся, наверно, и такой балбес. Но ему тогда прямая дорога в армию — плац подметать, а не наукой заниматься.

– Значит, ни один из этих двух типов читателей, — подытожила Черепаха, — пока ещё не видит причин признать Z логической необходимостью?

– Типа того, — согласился Ахиллес.

– Теперь представь, что я как раз тот самый читатель второго рода, — вкрадчиво произнесла Черепаха. — Силой логики заставь меня признать Z истиной.

– Если Черепаха играет в футбол, то… — начал было Ахилл, но Черепаха грубо его оборвала:

– …то это, конечно, аномалия! Не скачи с пятого на десятое! Сначала докажи мне Z, а уж потом про футбол поговорим!

– И как же мне тебя убедить? — почесал затылок Ахилл. — Ты ведь признаешь, что A и B истинны, но отказываешься признать, что из них с необходимостью следует Z.

– Давай обозначим это наше тройное правило буквой C, — предложила Черепаха.

– Какая разница, как его называть? — изумился Ахилл. — Как это условие ни назови, раз истинны A и B, то обязано быть истинным и Z.

– И всё-таки, давай попробуем дать ему имя, — настаивала Черепаха.

– Ну хорошо, хорошо. Тогда прошу тебя принять утверждение C.

– А я вот возьму и приму его, — великодушно согласилась Черепаха. — Только запиши это для надёжности в свою тетрадь. Кстати, зачем ты её вообще с собой таскаешь?

– Да так… Кое-какие мемуары набрасываю… — смутился Ахилл, нервно перелистывая страницы. — Записываю подвиги в битвах, где я особенно отличился!

– Я смотрю, негусто у тебя там подвигов… Ну да ладно, зато пустых листов полно, они-то нам для занятий логикой и пригодятся! — (Ахилл обреченно вздрогнул). — Ладно, пиши под диктовку:

A: вещи, равные одному и тому же, равны между собой;
B: две стороны этого треугольника — это как раз вещи, равные одному и тому же;
C: если (A) и (B) истинны, то (Z) железно должно быть истинным;
Z: следовательно, две стороны этого треугольника равны между собой.

– Четвёртую строчку логичнее было бы назвать D, а не Z, — проворчал Ахилл, — раз уж она идет сразу за первыми тремя. Ну да ладно. Итак, раз ты безоговорочно принимаешь A, B и C, то обязана принять и Z.

– С какой это стати? — невинно поинтересовалась Черепаха.

– Да потому что это железно следует из них! Если A, B и C истинны, то Z просто обязано быть истинным. Ты ведь не станешь спорить с очевидным?

– Если A, B и C истинны, то Z обязано быть истинным… — с притворной задумчивостью протянула Черепаха. — Погоди-ка, но ведь это еще одно отдельное правило? И пока я не признаю его истинность, я могу принимать A, B и C, но при этом всё еще имею полное право не признавать Z, верно?

– Да как так-то?! Обязана принять! — окончательно закипел Ахилл. — Что за упрямство такое! Ладно, давай, чтобы до тебя дошло, сформулируем и запишем это как новое условие.

– Прекрасно, диктую, — согласилась Черепаха. — Обозначим утверждение «Если A, B и C истинны, то Z должно быть истинным» буквой D. Записал?

– Записал… — буркнул Ахилл, на секунду решив, что победил, и потянулся было спрятать карандаш обратно в ножны. — Ну наконец-то дело движется к развязке. Теперь-то ты согласна, что если A, B, C и D истинны, то истинно и Z?

– Я согласна? — Черепаха удивленно захлопала глазами. — Дай-ка подумать… Я признаю истинность A, B, C и D. Но с чего бы мне принимать Z?

– Да сама Логика возьмет тебя за горло и заставит это сделать! — в гневе, известном по первым строчкам «Илиады» закричал Ахилл. — Она скажет: «Всё, дорогая, тебе не отвертеться! Раз уж ты признала A, B, C и D, изволь принять и Z!» У тебя просто нет выбора!

– О, то, что говорит Логика, всегда очень полезно и поучительно, это обязательно нужно зафиксировать письменно, — одобрительно кивнула Черепаха. — Допиши-ка там у себя в мемуарах: «Если A, B, C и D истинны, то Z железно должно быть истинным». Обозначим это буквой E. А без этого дополнения я дальше играть категорически отказываюсь!

– Да уж вижу… — уныло выдохнул погрустневший Ахилл.

На этом месте рассказчик, который сильно торопился в банк, был вынужден покинуть счастливую парочку. Он не навещал Ахилла и Черепаху несколько месяцев, а когда снова заглянул к ним, Ахилл всё так же послушно сидел на черепашьем панцире и строчил в своей тетради, которая была забита записями уже почти от корки до корки. Черепаха как раз поучала:

– Ты записал этот шаг? Если я не сбилась со счета, это уже правило за номером 1001. И впереди у нас еще парочка миллионов! Кстати, не мог бы ты в качестве личного одолжения — учитывая, сколько ценных указаний наш скромный диалог подарил логикам девятнадцатого века, — взять себе новое имя? Его придумал мой двоюродный брат Дразнильщик. Он предлагает тебе называться не Ахиллес, а Нибельмес!

– Как скажете… — уныло отозвался изможденный воин, в отчаянии утирая лицо ладонями. — При условии, что и ты, дорогая, сменишь имя. Твоему Дразнильщику до такого ни за что не додуматься: отныне лучшая кличка для тебя — Мозгоедка!

Говорят, Льюис Кэрролл хотел показать этой притчей простую истину: не стоит слишком зацикливаться на умозрительных парадоксах, особенно если это не входит в круг ваших профессиональных обязанностей. Разум, попытавшийся превратить очевидное действие в бесконечную цепочку логических согласований, неизбежно зависает. Иначе может получиться точь-в-точь как в анекдоте, который советские ценители юмора просто обожали: «Шёл ёжик, забыл, как дышать, и умер». Чтобы жить, двигаться и мыслить, нам иногда нужно просто сделать следующий шаг — отбросив сомнения, подобно Диогену, и игнорируя уловки всевозможных мозгоедок.