«Была бы шляпа — я бы снял!» — такими словами хочется поприветствовать читателей, продравшихся через свинцовые мерзости первой главы, описывающей крах диалектического материализма. Да, речь там идет о тяжелом наследии большевизма, зато теперь, когда неприятная часть работы выполнена, мы можем погрузиться в увлекательную историю других отраслей логики, радости непосредственного общения с которыми советское государство лишило своих граждан на 70 лет.

В этой главе речь пойдет о логике формальной. Кого-то это наукообразное название уже может озадачить, но причин для беспокойства нет: Это та самая, которой мы пользуемся повседневно в быту, просто с ней дело обстоит так же, как с бытовой техникой: поменять батарейку в пульте может каждый, а перепаять перегоревшую микросхему — только специалист. Вот и в формальной логике есть несколько уровней сложности, и мы, конечно же, начнем с простого, хотя и не такого примитивного, как «Если мамины туфли стоят в коридоре, значит она вернулась с работы».

Рассмотрим загадку, которую я прочитал в детстве:

Известно, что:

все вареные раки красны;
все вареные раки мертвы.

Следует ли из этого, что все красные мертвые раки вареные?

Ответ порадовал меня тогда своей практичностью: «Ничто не мешает нам найти дохлого рака и покрасить его в красный цвет», хотя, конечно, в той книге приводилось и серьезное, научное объяснение. Правильный ответ, как все, наверно, догадались: «Нет, не следует», потому что множества мертвых и красных раков действительно пересекаются, но вареными это пересечение не исчерпывается. Но стоит нам поменять вопрос на «Можно ли сказать, что некоторые красные мертвые раки вареные?», ответ становится положительным.

К такому оперированию словами «все», «некоторые», «ни один» и сводится, в сущности, формальная логика, но простота здесь обманчива. Ведь в компьютерных технологиях, как известно, тоже используются лишь два числа — 0 и 1, но задачи, которые решаются в этой сфере, буквально выворачивают мир наизнанку. Мы ещё поговорим о нулях и единицах в этой главе.

Тот, кто привык иметь дело с формальной логикой как научной дисциплиной, без труда решит задачку про раков: можно нарисовать круги Эйлера или задействовать квадраты Кэррола. Я привел здесь её, чтобы показать как простой силлогизм (так называются в логике две посылки с выводом) из детской научно-популярной книжки, напрягает обыденное сознание. Оно начинает метаться и искать решение методом подбора, тогда как ученые давным давно свели ответы на «загадки» такого рода в довольно компактные таблицы и щелкают их как орешки.

Логикой люди стали активно интересоваться в античные времена. Тогда, правда, эта отрасль философии чаще служила развлечением, чем средством решения практических задач. Древнегреческие мудрецы любили публично помериться красноречием, умением находить аргументы в спорах. В предыдущей главе уже было сказано, что такие состязания и назывались диалектикой, т. е. столкновением двух противоречащих друг другу утверждений, но умение пользоваться логическими приемами позволяло знатокам легко парировать как минимум стандартные, часто встречающиеся аргументы своих противников. Однако уже тогда, за несколько веков до нашей эры, были известны настолько заковыристые логические вопросы, что разрешить их не получалось вплоть до XX в. Такие головоломки называются парадоксами, и законам логики они, на первый взгляд, не подчиняются. Было даже в античной философии такое направление — софизм. Его приверженцы не столько хотели найти в споре истину, сколько придумывали «приемчики», ставящие оппонента в дурацкое положение, например: «Скажи, ты уже перестал бить своего отца?» Примерьте эту ситуацию на себя и вы поймете, что нужно обладать изрядным риторическим мастерством, чтобы не спасовать перед таким выпадом. Этот прием называется «ловушкой сложного вопроса» (plurium interrogationum). Проблема здесь в том, что в вопрос уже вшито утверждение, которое вы не принимали. Немножко изменив вопрос, можно не просто поставить человека в неловкое положение, но и репресситовать: «Вы уже перестали быть врагом народа?».

Некоторые парадоксы особенно ярко демонстрировали ограниченность человеческого мышления. Все, наверно, знают историю о состязании Ахиллеса с Черепахой, но мне нравится вариант мифа об изображенных на заставке к этой главе Эдипе и Сфинкс (это имя женского рода, поэтому не склоняется). Он отличается от популярного, где чудовище задает герою загадку: «Кто утром на четырех ногах, днем на двух, вечером на трех?» Ответ не слишком интересный, это человек, который в младенчестве ползает на четвереньках, в зрелом возрасте ходит на двух ногах, а состарившись опирается на палочку. Но есть гораздо более интересная версия этого мифа, где Сфинкс спрашивает: «Съем ли я тебя так же, как съедаю всех, кому задаю этот вопрос?» Прохожим, ответившим правильно, монстр позволял продолжать путь, ответивших неправильно — съедал. Опять, таки, примерьте этот сюжет на себя, чтобы почувствовать дьявольскую силу формальной логики. Эдип, например, и голову ломать не стал, а просто сбросил Сфинкс со скалы.

Я привел здесь этот парадокс не для экзотики, а чтобы выразить удивительное наблюдение: древняя загадка Сфинкс является частным случаем «парадокса брадобрея», который удалось решить строго научными методами лишь в первой четверти XX века! Об этом речь пойдет в конце данной главы, так что затянувшийся экскурс в античную историю был не спроста.

Первым, кто всерьез попытался превратить логику из «политтехнологии» в инструмент познания был Аристотель. Он не то чтобы посвятил ей жизнь. Как «античный энциклопедист», этот философ брался за упорядочивание любых научных знаний, накопившихся к тому времени, пытаясь свести их в единую стройную систему. Однако первые шаги по превращению логики из софистики в строгую научную дисциплину сделал, пожалуй, именно Аристотель, предложив законы тождества, противоречия и исключенного третьего. Он пытался зафиксировать правила честной игры: если мы назвали вещь «А», она не может в ту же секунду стать «не-А» только потому, что тебе так удобно в споре. А ведь поклонники диалектики, вроде Парменида и Маркса, именно этим и занимались, если вспомнить их закон «единства и борьбы противоположностей».

Подробнее с аристотелевской логикой читатель может познакомиться самостоятельно. В историческом же контексте следует лишь добавить, что она была продуктом, мягко говоря, сыроватым и приводила к таким выводам, как «тяжелые предметы падают быстрее легких», «некоторые люди рождены, чтобы быть рабами» и т. п. Уже тогда было понятно: формальная логика — это инструмент, а не гарантия истины. Если на вход подать «мусор» (неверные посылки), то даже тщательно продуманный алгоритм выдаст «мусор» и на выходе. Так что, заложив какой-никакой фундамент, Аристотель много чего оставил на доработку будущим поколениям.

Формальная логика считалась обязательной образовательной дисциплиной не только в античности, но и в Средние века, которые совершенно напрасно называют временами чуть ли не мракобесия. Интерес к ней, конечно же, усилился в эпоху Возрождения, но в этом кратком очерке мы остановимся лишь на самых ключевых фигурах, без которых немыслим переход к пониманию современной науки. Поэтому переносимся сразу на рубеж XVII и XVIII вв., где нас ждет Готфрид Вильгельм Лейбниц. Вклад этого мыслителя в самые разные отрасли знания трудно переоценить, и я никогда не закончил бы этот лонгрид, если бы решил изложить здесь всю систему его взглядов. В логику же он привнес девиз: «Давайте посчитаем!», правда, Лейбниц произносил её на латыни: Calculemus!. Свято веря в силу разума, он стремился заменить вычислениями бесплодные словесные перепалки с коллегами. Для ясности в обмене мнениями, как он считал, нужен универсальный, понятный всем язык символов, формул (Characteristica Universalis), который в то время был ещё очень далек от совершенства. Формализованный язык записи устранял бы, по мнению Лейбница, из логических и математических выражений мешающее принятию правильных решений элементы эмоциональности, субъективности.

Второй важный вклад Лейбница в логику — двоичное счисление. Специальные исследования на эту тему провел в XIX в. Джордж Буль, к которому мы скоро перейдем, но Лейбниц был, пожалуй, первым, кто всерьез задумался: а почему, собственно, мы считаем десятками? Я сам преподавал в школе информатику и любил озадачивать этим вопросом учеников. Многие отвечали правильно: потому, что у человека 10 пальцев на руках. Было бы 8, считали бы восьмерками, средневековые купцы, например, и так знали, что десятичная система не самая удобная. Они пользовались двенадцатиричной, от которой в европейских языках остались такие числительные, как eleven и twelve. Лейбниц показал, что с таким же успехом, как десятками, можно считать «одиннадцатками», девятками, восьмерками, семерками… и даже набором всего из двух цифр: 1 и 0. Правда, в этой паре он видел не «топливо» для будущих компьютеров, а глубокий религиозный смысл (Бог и Ничто), но по иронии судьбы заложил фундамент для мира, где Бога заменили транзисторы. Впрочем, герру Лейбницу гораздо интереснее было спорить с сэром Ньютоном об интегралах, чем развивать теорию о системах счисления, поэтому эта «экзотика», на основе которой в наше время процветают информационные технологии, на многие десятилетия «легла под сукно».

В XIX в. приближение компьютерной эры уже ощущалось. По крайней мере первые вычислительные машины, правда, пока механические, в то время уже пробовали создать. Самые известные из первых «компьютерщиков» — Чарльз Бэббидж и Ада Лавлейс, о которых и без меня сказано немало.

Джордж Буль тоже хорошо известен тем, кто интересуется информационными технологиями. В честь него даже названа двоичная — «булева» — алгебра, но для развития логики он сделал, пожалуй, больше, чем разработчики продвинутых арифмометров. Буль, заинтересовавшись системами счисления Лейбница, заметил, что использование всего двух цифр — 1 и 0 — конечно, затрудняет вычисления, зато позволяет связывать числа не только арифметическими, но и логическими действиями. Ведь с помощью 1 очень удобно записывать «да», а с помощью 0 — «нет». Поэтому утверждения, связанные союзами «и», «или», а также содержащие частицу «не» можно свести к простым арифметическим операциям. Буль вряд ли предполагал, к какому прорыву приведут его идеи при создании электронно-вычислительных машин, но оказалось, что с точки зрения электрических цепей ни одна система счисления не стабильна так, как двоичная. Ведь 1 можно выразить наличием напряжения, а 0 — отсутствием, тогда как, например, 9 и 8 вольт легко перепутать, если по соседству включили в розетку сварочный аппарат. Буль показал, что двоичные числа не так страшны и складываются, вычитаются, умножаются, делятся ничуть не хуже десятичных. Для тех же, кто захочет увидеть на мониторе привычные наборы арабских цифр и букв родного алфавита, с помощью той же двоичной логики легко произвести необходимые для визуализации преобразования.

Двоичная логика — это мир абсолютной честности. В ней нет «полуправды», в отличие от «диалектического» тумана, в котором значение высказывания может «плавать» в зависимости от исторического момента. Булева алгебра — это логика, в которой невозможно «договориться» с результатом. Если в схеме стоит AND, то при наличии одного 0 на входе, вы никогда не получите 1 на выходе, сколько бы «диалектических» заклинаний вы ни произнесли. Это диктатура правил, а не диктатура людей.

И всё-таки «предчувствие компьютеров», какими бы незаменимыми они не казались нам сегодня, было не главным в XIX в. Люди всё ещё стремились навести максимальный порядок прежде всего в собственном мышлении, и здесь, прежде чем мы перенесемся в XX в., где нас ждут главные герои этой главы, следует сказать о всем известном авторе книг «Алиса в стране чудес» и «Алиса в Зезеркалье» Льюисе Кэрроле. В наши дни не секрет, что на самом деле его звали Чарльз Доджсон, и был он по основной специальности математиком, а не детским писателем. Что же он сделал важного для развития логики — не так очевидно. Раз уж в этом повествовании то и дело встречаются отсылки к моему персональному опыту, скажу и здесь, что по-настоящему освоить силлогизмы мне в свое время помогла книга Л. Кэррола «Логическая игра», которую я рекомендую всем, кто хочет хорошенько «прокачать» свои мыслительные способности. Она не велика по объему и предназначена для детей. Главное ноу-хау там — настоящее, нарисованное игровое поле, которое можно вырезать из картона, раскрасить и использовать как полноценную «настолку»! Метод Кэрролла, его «диаграммы» — это фактически визуальное программирование. Он учил детей мыслить структурами данных еще до появления первого компилятора. Уже за одно это стоит упомянуть здесь знаменитого писателя, но его научные заслуги не сводятся к педагогическим.

Автор «Алисы…» как математик умудрялся выстраивать цепочки рассуждений не из 2-3, а, например, из 10 посылок и успешно их решал, находя единственно верный вывод. Уделил он внимание и древним парадоксам. В работе «Что Черепаха сказала Ахиллу» он показал, что мы не можем бесконечно обосновывать правила логики другими правилами. В какой-то момент мы должны просто принять условия и начать действовать. Это, как мы увидим ниже, привело науку XX в. к выводу, что не существует «чистого» мышления. Оно всегда ориентировано на внесение изменений в окружающий мир, а они, в свою очередь, порождают «обратную связь», корректирующую ход мысли.

Чарльз Доджсон рассматривал логику как «гигиену мышления»: невозможно обманывать самого себя и рассчитывать при этом на успехи в начинаниях. Если вы приняли посылку «Все крокодилы — розовые», вы обязаны принять и все выводы из неё.

Всё, что было сказано выше в этой главе — присказка. Мы подошли к самым драматическим десятилетиям в развитии формальной логики, когда она потерпела самый настоящий крах. Не столь позорный, как диалектическая, о которой речь шла в первой главе, но не менее шокирующий. Ведь столетиями это здание, возведенное на аристотелевском фундаменте, казалась незыблемым. Можно сомневаться в физических законах, поскольку новые эксперименты привносят в них коррективы, но как может «сломаться» человеческая способность рассуждать? Между тем древние парадоксы, такие, как миф об Эдипе и Сфинкс, с давних времен намекали, что формальная логика несет в себе какой-то надлом, так что ученые XX в., применив к ней современные математические методы, не «сломали», а всего лишь «доломали» её.

Начать нужно с незаслуженно забытого математика Готлоба Фреге, который в начале XX в. мечтал о создании науки, которая объединила бы математику и логику. Несмотря на то, что главный труд его жизни — «Исчисление понятий» (1879 г.) — оказался ошибочным, ему нужно сказать спасибо уже за саму идею «логицизма» (сводимости математики к логике), без которой трудно себе представить не только современную физику, но даже политику.

Хоть я и обещал не возвращаться больше к печальным советским временам, но здесь самое время сделать отступление и привести пример того, как правильно организованное мышление помогает в политической борьбе. Ведь можно сказать, что с этого и началось падение СССР. Один из лидеров и основателей советского диссидентского движения — А. С. Есенин-Вольпин (сын поэта Сергея Есенина) — в 1946 г. закончил с отличием мехмат МГУ, а в 1949 г. защитил кандидатскую диссертацию именно по математической логике. Однако вместо того, чтобы прозябать в НИИ в ожидании пенсии, он решил «хакнуть» Конституцию СССР. Математик сообразил, что, провозглашая диалектический материализм единственно верным методом познания, советская власть частенько «читерит», употребляя, так сказать, «для служебного пользования» логику самую обыкновенную, классического, древнеримского пошиба.

Организовав кружок диссидентов, Алик (так его называли друзья) с товарищами-антисоветчиками стали собирать несанкционированные митинги у памятника Маяковскому, не слишком большие, человек по 200. Там несогласные с политикой официальных властей читали ершистые стихи и критиковали несовершенства социалистического государства. Когда же советская власть по привычке прислала туда наряд милиции, чтобы изолировать смутьянов от общества, диссиденты огорошили силовиков вопросом: «А за что вы нас арестовываете? Свобода слова и свобода собраний закреплены в Советской Конституции!» Это, конечно, не предотвратило репрессий, но сильно затруднило следственные действия. Теперь борцы за свободу, вместо того, чтобы героически, но безропотно отправляться на отсидку, каждый раз устраивали «праздник непослушания»: при малейших нарушениях уголовно-процессуальных процедур, они писали жалобы и протесты, пользовались правом не отвечать на вопросы, прикрывались состоянием здоровья и семейным положением, требовали адвоката, и всё это со ссылками на действующее советское законодательство. Определенная часть протестовавших всё равно рано или поздно оказывалась в тюрьмах и психушках, но очень многим удавалось выиграть у государства время и свободу именно юридическими методами, в основе которых лежали наработки математика Есенина-Вольпина. Советская власть привыкла к «диалектическому» правосудию («закон — что дышло, куда повернул — туда и вышло»). Есенин-Вольпин навязал им формальную логику, где конституционное право — это константа (отсюда и слово «конституция»). Это был «логический террор» против государственного.

Вернемся к научной карьере Г. Фреге. Помимо принципа логицизма, он обогатил математику системой кванторов (не путать с квантами), т. е. значков для записи сложных логических выражений. Каждый, кто знаком с азами таких разделов математики, как теория пределов, теория множеств, эти значки помнит. О чем-то подобном мечтал ещё Лейбниц. Фреге задолго до появления компьютеров создал даже что-то вроде языка программирования, назвав его Concept Script. Ценность этих знаковых систем, пригодных для объективной записи логических рассуждений, у современных математиков сомнений не вызывает. А вот с трактатом по математической логике вышла незадача.

В 1902 г. один из молодых учеников Фреге — Бертран Рассел — нашел в «Исчислении понятий» фундаментальную ошибку — тот самый «парадокс брадобрея». Заключается он в следующем. В городке, в котором запрещено носить бороды, брадобрей (точнее говоря, Брадобрей, потому что он там единственный) бреет только тех, кто не бреется сам, т. е. часть жителей делают это самостоятельно. Вопрос: должен ли он брить самого себя? Если да, то выходит противоречие, ведь тех, кто бреется сам, Брадобрей не должен брить. Если нет, то кто же его тогда побреет? Тут можно долго рассуждать о том, что он может кого-нибудь научить и попросить об ответной услуге, что он может уехать в другой город с менее строгими правилами, может принимать гормональные таблетки, чтобы борода не росла, может пойти на крутой протест и, вопреки местным законам, отрастить бороду, но это будет уже диалектическая логика. С формальной же точки зрения это не имеет никакого значения, парадокс остается неразрешимым. Тупик, обнаруженный Расселом, был именно следствием фундаментальной ошибки, закравшейся в исходные посылки Фреге.

Не сказать, что такой удар навсегда отбил у старика охоту заниматься логикой и математикой, но от идеи переписать свой главный труд в скорректированном виде он отказался. Фреге повел себя в этой ситуации в высшей степени благородно. Получив письмо Рассела, которое рушило труд всей его жизни, он не стал «диалектически» изворачиваться или объявлять своего ученика «врагом народа». Фреге лишь честно констатировал в послесловии к своей книге: «Фундамент рухнул», и это его признание стало одним из самых цитируемых образцов научной этики, одним из лучших примеров логической гигиены, к которой стремился Льюис Кэррол.

Зато молодой Бертран Рассел, вдохновившись своей находчивостью, решил продолжить дело учителя. Он замахнулся на создание чего-то даже более масштабного, чем фундаментальный трактат. Рассел в соавторстве с коллегой Альфредом Уайтхедом задумали написать многотомный труд Principia Mathematica, в котором они, ни много ни мало, собирались «с чистого листа», от простого к сложному, строго логически дать определения таким понятиям, как «число», «множество», «действие» и т. п. Подобно детективам, они намеревались тщательно проследить все рассуждения, приводящие человеческое сознание к математическим понятиям и избавиться от всех двусмысленностей, всех парадоксов. В период с 1910 по 1913 гг. они написали три, кажется, тома и… надорвались. Точнее говоря, забросили это гиблое дело, решив переключиться на что-нибудь более приятное. Не потому, что обнаружили непроходимые противоречия, а просто потому, что их труд всё больше напоминал «гирю на ноге», уготованную для коллег-математиков. Ведь только на доказательство того, что 1 + 1 = 2 у них ушло 362 страницы! Сверяться при вычислениях с их книгой было бы так же неудобно, как при ходьбе останавливаться после каждого шага и подсчитывать количество затраченных калорий, записывая его в блокнот. Физиолог профессор Преображенский из повести М. А. Булгакова «Собачье сердце» говорил в подобных обстоятельствах: «Зачем искусственно фабриковать Спиноз, когда любая баба может родить его когда угодно!».

Рассел и Уайтхед построили безупречный кристалл, в котором не было ни одной трещинки парадокса, но в этом кристалле не осталось места для самого человека — для его сомнений, рисков и права на ошибку. Значит ли это, что тщетность усилий Рассела и Уайтхеда «отменила» формальную логику? Ни в коем случае! Мы по-прежнему успешно пользуемся ей в быту при решении обыденных задач, да и исторические заслуги её настолько велики, что просто так вычеркнуть из культурного наследия человечества не получится. Самое же главное — занятия формальной логикой издревле были, если уж не способом выяснения истины, то средством для развития ума. Её по-прежнему преподают не только на математических и физических факультетах, но и на медицинских, юридических и даже исторических.

Льюис Кэррол считал занятия формальной логикой гигиеной мышления, способствующей тому, что человек, начав стремиться быть честным по отношению к самому себе, как следствие уже не может не быть честным и по отношению к другим. За примером можно снова обратиться к истории СССР. В годы послереволюционной разрухи большевики часто приглашали в свою молодую республику авторитетных интеллектуалов из Западной Европы, чтобы те дали новой российской власти положительную оценку. В Петрограде и Москве, в частности, побывали два выдающихся англичанина: писатель-фантаст Герберт Уэллс и математик Бертран Рассел. Первый выглядел ангажированным: по итогам поездки 1920-го г. написал книгу «Россия во мгле», где признавал, что страна переживает тяжелые времена, но выражал надежду на то, что усилия коммунистов выведут её из отсталости и невежества. Мы не знаем, пытались ли большевики подкупить Рассела, но кривить душой он не стал, и в своем отчете — книге «Практика и теория большевизма», вышедшей почти одновременно с уэллсовской, писал:

Если большевизм окажется единственным сильным и действующим конкурентом капитализма, то я убеждён, что не будет создано никакого социализма, а воцарятся лишь хаос и разрушение.

Тот, кто, подобно мне, считает свободный интеллект главным двигателем человеческого прогресса, не может не противостоять большевизму столь же фундаментально, как и римско-католической церкви.

Большевизм не просто политическая доктрина, он ещё и религия со своими догматами и священными писаниями. Когда Ленин хочет доказать какое-нибудь положение, он по мере возможности цитирует Маркса и Энгельса.

Ленин же показался Расселу не «кремлевским мечтателем», как обтекаемо назвал его Уэллс, а узколобым варваром, от которого не приходится ждать ничего хорошего.

К 1925 г. формальная логика перестала соответствовать требованиям естественнонаучного познания. Физикам для исследования элементарных частиц и космоса нужны были более эффективные теоретические инструменты. Цивилизация, казалось, застряла в квантовой неопределенности. «Архитекторы порядка» от Аристотеля до Рассела пытались создать аппарат для непротиворечивого мышления, но породили монстра, которого, по циничной русской поговорке, «легче убить, чем прокормить». Получилось что-то неподъемное, а главное — бесполезное, вроде сталинского Дома Советов, от строительства которого даже большевикам, не признающим на своем пути никаких преград, пришлось отказаться. Настало время «сбросить монстра со скалы», и новый Эдип нашелся. Его звали Фрэнк Рамсей, и с рассказа о нем начнется третья глава.