Иногда математики умирают молодыми, удивительным образом успев за свою короткую жизнь открыть столько научных истин, что хватает на много десятилетий дальнейших исследований. Например, французский юноша Эваристе Галуа погиб на дуэли в 1832 г. в возрасте 20 лет, успев изложить в прощальном письме основы теории групп, не утратившей актуальности и поныне. Мало прожил и главный герой этой главы — Фрэнк Рамсей (1903-1930). Правда, его смерть в 26-летнем возрасте была не такой пафосной. Он умер «всего лишь» от неудачной медицинской операции, но его научное наследие стало настоящим подвигом. Слово подвиг происходит от слова «двигать», и Рамсей не только сдвинул с мертвой точки махину математической логики, безнадежно забуксовавшую в конце предыдущей главы, но и дал новый импульс исследованиям в области квантовой физики.

Но сначала необходимо сказать несколько слов о «предтече» Рамсея — Людвиге Витгенштейне (1889-1951). Он несколько более известен, потому что занимался не малопонятной высшей математикой, а философией, знатоками которой считают себя даже некоторые таксисты. По крайней мере его фамилию слышал каждый, кто интересовался историей философии XX в. В 1990-х, когда в нашу страну хлынул поток недоступных в советское время книг, я тоже многократно встречал упоминания о Витгенштейне в книгах и статьях по гуманитарным наукам и даже купил небольшой сборник его работ. Купил, начал читать, ничего не понял и поставил на полку «до лучших времен». И вот спустя более 30 лет эти времена, кажется, настали.

При изучении философии всегда лучше сначала поинтересоваться исторической обстановкой, в которой протекала жизнь мыслителя. Людвиг Витгенштейн родился в Вене, в состоятельной и влиятельной семье, но высшее образование получил в Кембридже. Отправился же он туда по совету того самого Готлоба Фреге, который, как мы уже знаем из предыдущей главы, привел формальную логику к драматической кульминации. Более того, преподавателем Витгенштейна в Кембридже был упомянутый там же Бертран Рассел, который «доломал» аристотелево начинание окончательно. Такая вот преемственность.

К философии Людвиг пришел неожиданным путём, через авиационную инженерию: в начале карьеры он проектировал пропеллеры. Возможно, поэтому его первая книга напоминает не столько философское рассуждение, сколько чертеж идеального логического устройства, которое, как выяснилось позже, намертво «заклинило» при встрече с реальностью. Закончив университет, Витгенштейн вернулся в Австрию и сразу получил большое наследство, немалую часть которого потратил на поддержку писателей, художников, ученых, многие из которых впоследствии стали всемирно знаменитыми. Вскоре началась Первая мировая война, на которую он отправился добровольцем. Участвовал в боях, сдерживавших знаменитый Брусиловский прорыв, в 1918 г. переместился на Итальянский фронт, где попал в плен. В перерывах между боями Витгенштейн смог написать одно из своих главных произведений — «Логико-философский трактат». Он говорил, что помогла ему в этом близость смерти, подхлестнувшая творческие способности. Находил он в те грозные годы и время на переписку с коллегами, в частности, с Бертраном Расселом. В этом не было бы ничего удивительного, если бы они не принадлежали к противоборствующим военным блокам. Однако для австрийского офицера-математика возможность обмениваться научными мнениями оказалась важнее, чем опасность попасть под трибунал.

После Первой мировой войны молодёжь, принявшая в ней участие, разделилась на две части. Кто-то, как Гитлер и Муссолини, окунулся с головой в кипучую деятельность по подготовке к следующей бойне (кстати, есть вполне правдоподобная гипотеза, что Витгенштейн и Гитлер, одновременно проживавшие в Линце, могли быть одноклассниками в тамошней реальной школе), а кто-то, как Ремарк и Хемингуэй, объявил себя частью «потерянного поколения» и впал в скепсис. 30-летний Людвиг тоже испытал в послевоенные годы глубокое разочарование, которое усилилось тем, что его «Логико-философский трактат» не хотело принимать ни одно издательство. Когда же в 1921 г. книга, наконец, увидела свет, она произвела среди интеллектуалов эффект разорвавшейся бомбы. Многие почувствовали в ней нечто, что сможет вывести математическую логику из тупика. Витгенштейн мгновенно стал «королём» философии, а заодно и математики, но самого автора это не порадовало. Видя, что его идеи мало кто понимает по-настоящему, он отправился в альпийскую глушь работать школьным учителем.

В то время как Витгенштейн пытался научить крестьянских детей евклидовым началам, выпускник Кембриджа, 20-летний Фрэнк Рамсей уже понимал: жизнь больше похожа на азартную игру, чем на геометрию. Важна не абсолютная истина, а правильный расчет шансов. Прочитав «Логико-философский трактат», этот энергичный математик оказался единственным, кто не только понял, но и перевел эту книгу на английский язык. Более того, мало кто из опытных ученых рискнул бы лично встретиться с Витгенштейном, «схватившим звезду», да и без того не отличавшимся уживчивым характером. Рамсей оказался единственным кто, осмелился критиковать Витгенштейна в лицо, когда тот был в зените славы. Фрэнк захотел встретиться с автором «Трактата», которого счёл своим учителем. Не помешало этой решимости даже предстоявшее путешествие в деревеньку Пухберг, где кумир математиков прозябал на скромной школьной должности, играя, видимо, роль непонятого гения. Здесь следует вспомнить, что Витгенштейн был человеком состоятельным и при желании мог вести вполне беззаботную жизнь. И вот 20-летний, долговязый и жизнерадостный Рамсей отправился в 1923 г. в Альпы будить дремлющий «вулкан».

Витгенштейн тем временем подошел к делу зарывания таланта в землю с немецкой основательностью. Философию он забросил, считая, что в своем «Трактате» и так уже решил все проблемы человечества. Он служил простым учителем начальных классов в сельской школе, жил в нищете, спал на жесткой постели и пребывал в глубочайшем духовном кризисе. Рамсей же приехал не просто знакомиться, а исправлять обнаруженные в тексте нашумевшего трактата логические нестыковки. Их беседы, больше похожие на допросы, длились по 5 часов в день. Каждый день после школьных занятий Витгенштейна они садились друг напротив друга и Рамсей буквально «трепанировал» текст учителя. Он спрашивал: «Людвиг, ты пишешь, что логика — это каркас мира. Но как этот каркас соотносится с тем, что мы просто люди и можем ошибаться?» Витгенштейн, который поначалу изумлялся, как этот дерзкий «мальчишка» смеет находить ошибки в тексте, который сам Бертран Рассел считал безупречным, в конце концов был задет за живое. После многодневных рамсеевских измывательств он решил-таки вернуться в Кембридж, к академической карьере.

В университете, чтобы продолжить научную работу на профессиональной основе, Витгенштейну предстояло защитить диссертацию. С его испорченным характером сделать это было непросто. Чтобы не унижать гения формальной рутиной написания текста для защиты, Бертрану Расселу пришлось пойти на хитрость и выдать за текст диссертации сам «Логико-философский трактат». Это помогло, но полностью своё высокомерие, хоть и вполне обоснованное, кандидату продавить не удалось. На защите Витгенштейн что-то презрительно цедил сквозь зубы в адрес задававших ему вопросы именитых профессоров. В какой-то момент, он встал, похлопал Рассела и Мура по плечам и сказал легендарную фразу: «Не волнуйтесь, я знаю, что вы этого никогда не поймете», но гению прощается даже такое. Степень доктора философии (PhD), он, всё-таки, получил, что позволило ему официально занять место преподавателя.

Если бы Фрэнк Рамсей не сделал для науки больше ничего, кроме завлечения обратно в Кембридж Людвига Витгенштейна, ему уже можно было бы сказать большое спасибо. Ведь после возвращения тот фактически прожил ещё одну творческую жизнь, пересмотрев идеи, изложенные в «Логико-философском трактате». Однако Рамсей был не профессиональным спасателем гениев, а самостоятельно мыслящим математиком. Он оказался единственным, кто не «трепетал» перед Витгенштейном, этим Голиафом старой логики, а спокойно указывал на ошибки в его «Трактате».

Пора перейти к описанию теоретического вклада, который Рамсей привнёс в математику.

Как сказано тремя абзацами выше, Фрэнка в беседах с Людвигом интересовал вопрос о невозможности создания «объективной» логической теории. Ведь ошибаются все, и каждый ошибается по-своему, значит логика у каждого хоть немного, но своя собственная, специфическая, отличающаяся от «стандартной». Казалось бы, ответ простой: если ты считаешь себя особенным — не предавайся гордыне, а подстройся под общепринятую систему, но ведь те, кто закладывал фундамент формальной логики, тоже могли ошибаться. С другой стороны, считать себя «самым умным» и отрицать интеллектуальный опыт человечества, накопленный за столетия, было бы не только невежливо, но и неразумно. Есть даже исторический анекдот со словами: «Весь полк идет не в ногу, один поручик идет в ногу». Это сказано, кажется, о молодом Наполеоне I и применяется, когда хотят попрекнуть честолюбца, уверенного в своей исключительности. Проблема может показаться даже не столько научной, сколько этической, но Фрэнк Рамсей был математиком, а не морализатором.

Как же определить границу между обязанностью делать «как все» и стремлением сохранять собственное мнение? Рассмотрим ситуацию, когда в каком-нибудь офисе кто-то включил в розетку слишком мощный электрочайник, и от большого тока сработал аварийный автомат, отключивший помещения от силовой сети. Погасли экраны компьютерных мониторов, остановились кондиционеры, пропала связь. Виновник (скорее всего, какая-нибудь недалекого ума бухгалтерша) боится признаться и молчит. Обитатели офиса дружно решают вызывать штатного электрика, но, созвонившись с ним по сотовой связи, выясняют, что он сможет приехать только через час. Между тем рабочий день в разгаре, документы требуют срочной обработки, ситуация чревата большими убытками. И вот находится кто-то, кто говорит: нужно просто открыть электрощиток и снова включить перегревшийся автомат, предварительно, конечно же, устранив все глупые чайники. Коллеги тревожатся: «Да разве можно! Да ведь для этого нужен допуск! Да ведь щиток опечатан! Да ведь это, в конце-концов, небезопасно! Давайте лучше подождем электрика». Но шеф на стороне смельчака, он не может допустить убытков: «Если умеешь — сделай, выпишу тебе премию в случае успеха». Герой идет на лестничную площадку, удаляет пломбу с электрощитка, находит сработавший аварийный автомат, ещё теплый от недавней перегрузки и поднимает клавишу: «Да будет свет!» В офисе всё оживает от вернувшегося электричества, а вопрос с испорченной пломбой можно урегулировать за куда меньшую сумму, чем грозившие в результате обесточивания убытки.

Смельчак из предыдущего абзаца не так уж и рисковал. Вероятность того, что в этой ситуации могла случиться большая беда, невелика. Аварийный автомат для того и устанавливают, чтобы легко можно было устранить последствия перегрузок. Но и вероятность неблагоприятного исхода не была нулевой. «Умельца» могло сильно ударить током, если электрощиток неисправен (тогда компании пришлось бы оплачивать медицинскую страховку); возможно, причиной обесточивания был не злополучный чайник, а подгоревшая внутри стен проводка, тогда подача электричества в офис могла вызвать даже пожар. Самовольно сорванная пломба могла повлечь юридические последствия, от которых не удалось бы откупиться бутылкой дорогого виски. В общем, всякое бывает, поэтому ключевое слово здесь — «вероятность». Его и взял за основу своего подхода к математической логике Фрэнк Рамсей.

По его теории выходило, что невозможно создать всеобщую, «объективную» логику, которую пытались сформулировать в своем многотомнике Principia Mathematica Рассел и Уайтхед. Наш мир — не единый механизм, а результат взаимодействия множества очень похожих друг на друга, но, всё-таки особенных, индивидуальных логических систем. Успех каждой из них лишь вероятен, поскольку ни одна не обладает всей полнотой знаний, если, конечно, мы говорим о человеческих сообществах, а не о богах. Таким образом, люди похожи на игроков в казино, делающих ставки в соответствии со своими представлениями о правилах игры, и вероятность выигрыша никогда не равна единице.

«Ну, это не новость! — скажет скептик. — На эту тему сложено множество стихов, песен, и более крупных литературных произведений, от куплетов Остапа Бендера из сериала «12 стульев» до шекспировского «Гамлета». Да, но Рамсею-то удалось доказать это математически. Точнее говоря, не доказать (в том-то и дело, что, в соответствии с его теорией, строго доказать в этом мире ничего невозможно), а создать подтверждаемую практикой математическую теорию, особенно полезную в новых отраслях физики, таких, как квантовая механика.

Эта глава, в отличие от предыдущих, началась не с древности, а почти с современности, но исторического экскурса не миновать и на этот раз: Фрэнк создавал свою теорию не с нуля. Правда, вернуться придётся не в античность, а «всего лишь» в XVIII в., где в хронологическом соседстве с повстречавшимся нам в предыдущей главе Готфридом Лейбницем жил сельский священник Томас Байес. В отличие от Витгенштейна, для которого работа учителем в деревне была жестом непонятого гения, Байес на всемирную известность не претендовал. Его биография в Википедии занимает буквально 5 предложений: «Родился, учился, служил, вышел в отставку, умер». Но, конечно, и говорить было бы не о чем, если бы не еще один пункт: Байес всю жизнь увлекался математикой, в частности, уже зародившейся к тому времени теорией вероятностей. Не даром без знания о том, что такое «байесовское распределение», «байесовская вероятность» программиста в наши дни не примут на работу в сколь-нибудь серьезную IT-компанию.

В первой главе мы видели, что вероятность успешного воплощения любого плана равна произведению вероятностей его составных частей. Там даже есть график, показывающий, как надежда на удачу деградирует от «просто не может не получиться» до «хрен его знает, товарищ майор». Байес заметил, что гораздо разумнее пересчитывать вероятность удачного исхода всего проекта после каждого этапа. Он предложил смотреть на мир не как на набор готовых фактов, а как на набор улик. Правда, его рассуждения редко выходили за рамки подсчета вероятности вытаскивания белого или черного шара из мешка. Заслуга Рамсея в том, что он применил эту байесовские методики для прогнозирования человеческих убеждений.

Для иллюстрации прибегну к ещё одному бытовому примеру.

Допустим, августовским вечером, в пятницу некий горожанин составили план:

1. проснуться завтра пораньше;
2. поехать на вокзал и сесть там на пригородную электричку;
3. выйти на дальней станции, где хорошие леса;
4. набрать грибов;
5. вернуться домой;
6. сварить грибной суп и поужинать.

Неудачи могут начаться уже в первом пункте: он переоценил свои силы и проспал, потому что трудовая неделя была тяжелой: ехать бесполезно, потому что грибы соберут более расторопные граждане. Он, всё-таки, решает рискнуть, выходит из дома чуть попозже и видит, как сосед заводит машину, чтобы… ехать за грибами! Автомобилист, пребывая в хорошем расположении духа, предлагает составить компанию! Вот так удача: и выспаться удалось, и в лесу оказаться можно даже раньше, чем если бы поехал на электричке. Насколько капризное занятие сбор грибов знает каждый, кто хоть раз этим занимался, так что пункт 4 может закончиться как триумфом, так и полным поражением (пустой корзиной). Возвращение домой, будем надеяться, обойдется благополучно, хотя в лесу можно и заблудиться. И да не попадут в грибной суп поганки!

Вот сколько факторов неопределенности ожидает городского грибника, но это не самое удивительное. Допустим, он, слегка припозднившись, вышел из подъезда и увидел там другого соседа, не того, который с машиной, а дедушку, хорошо знающего грибные места и уже успевшего обернуться до леса. Его корзинка полна отборнейших грибов, и он пристраивается на лавочке их продавать, причем за цену, которая лишь немного превышает стоимость билетов на электричку туда и обратно. Наш герой будет просто дураком, если не купит у него эти грибы, если цель — всего лишь сварить грибной суп. План сокращается с 6 пунктов до 1, экономя драгоценный выходной и силы, которые ещё пригодятся для не менее полезных дел. Но если частью плана было ещё и подышать лесным воздухом… Впрочем, эту ситуацию мы рассмотрим, когда речь пойдет о Голландской книге.

Рассказ о грибнике — хорошая иллюстрация идей Томаса Байеса. К сожалению, его теория о том, что вычислять вероятность нужно не целиком при составлении многоступенчатого плана, а по мере реализации этапов, много десятилетий пролежала без движения. Человечество в те времена слишком увлекалось механикой и стремилось как раз исключать любую вероятность неблагоприятного исхода, а не учитывать возможные неудачи. В середине 1920-х о байесовском подходе вспомнили, и Рамсей построил на его основе свою версию математической логики.

Идею применения вероятности в теоретических расчетах с энтузиазмом подхватили и тогдашние физики. В 1926 г. Макс Борн, оттолкнувшись от наработок Шрёдингера и Гейзенберга, привнёс в квантовую механику математически точное описание состояния неопределенности, в котором только и могут находиться элементарные частицы. Формула Борна не слишком длина, но для неподготовленного читателя, конечно, непонятна:

Вникать в неё досконально неспециалисту по квантовой физике и не нужно. Важно понять, что здесь выражена функция вероятности (обозначена греческой буквой «пси»), с которой элементарную частицу можно найти в той или иной точке. Ведь в микромире, в отличие от привычной нам обыденности, невозможно одновременно определить и импульс, и местоположение. При измерении одного из них для второго появляется неопределенность, соответствие которой «настоящей» величине можно оценить лишь приблизительно.

Развивая эту мысль, математики и физики, вслед за Рамсеем и Борном, пришли к выводу, что не только к элементарным частицам, но и к любым событиям можно применить правило:

Это уравнение широко используется не только в математике, но и в программировании, связанном с «тренировкой» искусственного интеллекта. Оно означает, что если у события есть два исхода, их вероятности, возведенные в квадрат, в сумме дают единицу. Общая «емкость» ожиданий всегда сохраняется равной 100 %, как бы мы ни дробили свои предсказания. То есть то, что не произошло, влияет на то, что произошло, а это и означает, что при планировании, прогнозировании, вероятности для каждого события в последовательности следует не закладывать единовременно, а пересчитывать каждый раз, после каждого практического хода. Точнее говоря, события здесь напоминают не столько ходы, как, например, в карточной игре или шахматах, сколько пересдачу карт по завершении партии. Каждый раз при этом у игрока появляются новые возможности, которых он не мог предположить в предыдущей.

Всё это, конечно, непривычно для неподготовленного человека и требует дополнительных усилий, так что пусть каждый сам решит, насколько он готов углубиться в теоретические дебри. Здесь же важно, что мы, наконец, вплотную подошли к Голландской книге, знакомство с которой обещано ещё в первой главе. Именно описание её «механизмов», а не обслуживание интересов физики следует считать самой ощутимой теоретической заслугой Фрэнка Рамсея. Если для классического физика формула Борна — это досадная невозможность узнать «правду», то для байесианца — это идеальная инструкция. Она говорит: «Если у тебя есть такой-то инсайд (Пси), то твоя честная ставка (Вероятность) должна быть равна квадрату этого числа. Если сумма квадратов в формуле не равна единице (100%), значит, в код или в мысли закралось противоречие».

Голландской книгой называют сборник хитрых таблиц, помогающих владельцам казино и скачек «обыгрывать» своих посетителей. Обыгрывать в кавычках, потому что никакой игры там, как известно, не происходит. Прибыль компании уже заложена во все аттракционы. Всё это придумано и отлажено так давно и так надёжно, что любые «методики», с помощью которых якобы можно выиграть в азартные игры у хозяев Лас-Вегаса или Монако заведомо провальны. Не любите проигрывать — не ходите в казино, вот одно из практических правил, вытекающих из теории Рамсея. Впрочем, в казино ходят совсем не за тем, чтобы выигрывать.

Фрэнк задался вопросом: а есть ли какой-то объективный критерий, по которому мы можем сказать, что человек мыслит заведомо неудачно, если у каждого «своя вероятность»? И он нашел ответ в экономике. Не даром одним из его лучших друзей был упомянутый в первой главе Джон Кейнс, который понимал, что рынки — это тоже «казино», где правят ожидания и animal spirits. Рамсей пришел к выводу, что против того, чей разум не следует правилам Байеса, мир (как владелец казино) составит Голландскую книгу.

Существует множество разновидностей Голландской книги, и все они построены на вполне определенном принципе: нужно привести клиента к ситуации, когда сумма исходов (точнее, их квадратов), показанная в формуле выше, не равна единице. Вероятность проигрыша в этом случае всегда больше, чем при «естественном» течении событий. Допустим, наш грибник сформулировал свой план на субботу чуть-чуть по-другому: «Съезжу-ка я по грибы, а то давно не был в лесу, пора свежим воздухом подышать, природой полюбоваться». Он встал пораньше, сел в электричку, где было не слишком людно, в лесу оказалось много грибов и он набрал полную корзину, затем без приключений вернулся домой, сварил вкусный и полезный грибной суп, отлично поужинал и, усталый, но довольный, набравшийся здоровья лёг спать. Его план вполне удался, хотя на каждом шагу подстерегали неприятности.

Теперь допустим, что он, как уже предполагалось, вышел из подъезда и увидел дедушку-соседа, с утра пораньше продающего лесные грибы. Уже потянувшись было за кошельком, наш герой подумал: «Но ведь я хотел не только набрать грибов, но ещё и подышать свежим воздухом, полюбоваться природой» и, вежливо поздоровавшись, двинулся-таки в сторону вокзала. Вернувшись вечером домой с полной корзиной, сварив суп и наслаждаясь его вкусом, он поймал себя на легком чувстве досады: «А ведь если бы я купил грибы утром у деда, я сэкономил бы выходной день. С природой я, конечно, пообщался, но и ухайдакался тоже по полной программе: ноги промочил, о корягу споткнулся, чуть не заблудился… А подышать чистым воздухом и в городском парке можно было, да и субботние хозяйственные дела пришлось переносить на воскресенье».

Казалось бы, досада грибника напускная, он мог бы и не обращать внимания на утреннего деда, но, думаю, у большинства просто не получилось бы проигнорировать более эффективный путь к грибному супу. Человеческий мозг так устроен, что не может не просчитывать благоприятность различных вариантов, хоть прошлых, хоть будущих. В этом и заключается дух Голландской книги. Она призывает «сидеть между двух стульев», «гоняться за двумя зайцами», покупать два предмета, чтобы третий получить в подарок, успеть воспользоваться услугой до конца года, чтобы получить скидку и т. п. Результаты же её действия описываются такими поговорками, как «ни к селу, ни к городу», «ни уму, ни сердцу», «поспешишь — людей насмешишь», «дорого — да мило, дёшево — да гнило», «лучшее — враг хорошего» и т. п.

Можно было бы сказать, что Голландская книга — инструмент из арсенала маркетологов, а не математиков. Она сформировалась эмпирически, за многие столетия развития торговли. Это так, рыночные хитрецы, составлявшие рецепты «сравнительно честного отъема денег у населения» о вкладе в развитие математической логики, конечно же, и не помышляли. Однако, как показал Фрэнк Рамсей, математикой Голландская книга пропитана насквозь. Её логика заключается в том, что при попытке «подмешать» к цели изначального плана стремление к достижению какого-то дополнительного бонуса, вероятность благоприятного исхода в одной из частей уравнения снижается, так как требуется, чтобы одновременно наступили два слишком разнородных события. Например, исходы

«набрать грибов самому» + «купить грибы»

в сумме дают единицу как взаимоисключающие, а вот

«промоченные ноги» + «радость от супа» + «грибы можно было купить» 

в 100 % не складываются и порождают сожаление о напрасно потраченном времени.

Интересно, что грибник из параллельной вселенной, не увидевший утром деда-продавца, остался вполне доволен своим днём. Он так и не узнал, что существует более оптимальный вариант достижения цели «сварить грибной суп», и в этом заключается ещё одна идея, к которой в течение XX в. пришли физики и математики: результат последовательности событий зависит ещё и от наблюдателя. Он тоже является участником системы, состоянием которой интересуется. Это учитывается не только в исследованиях элементарных частиц, где влияние наблюдателя давно стало общим местом, но и в современной философии, точнее говоря, в одной из современных философских интерпретаций квантовой физики, которая называется QBism. О ней речь пойдет в следующей главе.